Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau: ...
Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Đề bài
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) ( an x>x left( 0<x<frac{pi }{2} ight).)
b) ( an x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0<x<frac{pi }{2} ight).)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số (yleft( x ight)) với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số (yleft( x ight)) và khảo sát hàm số (yleft( x ight)) trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết
a) ( an x>x left( 0<x<frac{pi }{2} ight).)
Xét hàm số: (y=fleft( x ight)= an x-x) với (xin left( 0; frac{pi }{2} ight).)
Ta có: (y'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1=frac{1-{{cos }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}=frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}={{ an }^{2}}x>0forall xin left( 0;frac{pi }{2} ight))
Vậy hàm số luôn đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} ight).)
(Rightarrow forall xin left( 0;frac{pi }{2} ight) ext{ta có} , fleft( x ight)>fleft( 0 ight) Leftrightarrow an x-x> an 0-0 Leftrightarrow an x-x>0 Leftrightarrow an x>x left( dpcm ight).)
b) ( an x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0<x<frac{pi }{2} ight).)
Xét hàm số: (y=gleft( x ight)= an x-x-frac{{{x}^{3}}}{3}) với (xin left( 0; frac{pi }{2} ight).)
Ta có: (y'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{ an }^{2}}x-1-{{x}^{2}} ={{ an }^{2}}x-{{x}^{2}}=left( an x-x ight)left( an x+x ight).)
Với (forall xin left( 0;frac{pi }{2} ight)Rightarrow an x>0) nên ta có: ( an x+x>0) và ( an x-x>0) (theo câu a) (Rightarrow y'>0,,forall xin left( 0;frac{pi }{2} ight))
Vậy hàm số (y=gleft( x ight)) đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} ight)Rightarrow gleft( x ight)>gleft( 0 ight).)
(Leftrightarrow an x-x-frac{{{x}^{3}}}{3}> an 0-0-0 Leftrightarrow an x-x-frac{{{x}^{3}}}{3}>0 Leftrightarrow an x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( dpcm ight).)
soanbailop6.com
