Bài 3.62 trang 133 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần...

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB₁, CD. A₁D₁. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C₁N.

Hướng dẫn làm bài:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:  B₁ là gốc tọa độ, (overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = overrightarrow i ,overrightarrow {{B_1}{C_1}}  = overrightarrow j ,overrightarrow {{B_1}B}  = overrightarrow k ). Trong hệ trục vừa chọn, ta có B₁(0; 0; 0), B(0; 0; 1), A₁(1; 0; 0), D₁(1; 1; 0), C(0; 1; 1), D(1; 1; 1), C₁(0; 1; 0).

Suy ra (M(0;0;{1 over 2}),P(1;{1 over 2};0),N({1 over 2};1;1))

Ta có (overrightarrow {MP}  = (1;{1 over 2}; – {1 over 2});overrightarrow {{C_1}N}  = ({1 over 2};0;1))

Gọi ((alpha ))  là mặt phẳng chứa C₁N và song song với MP. ((alpha )) có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n  = ({1 over 2}; – {5 over 4}; – {1 over 4}))   hay (overrightarrow n ‘ = (2; – 5; – 1))

Phương trình  của ((alpha )) là ( 2x – 5(y – 1) – z = 0) hay (2x – 5y – z + 5 = 0)

Ta có  (d(MP,{C_1}N) = d(M,(alpha )) = {{| – {1 over 2} + 5|} over {sqrt {25 + 4 + 1} }} = {9 over {2sqrt {30} }})

Ta có: (cos (widehat {MP,{C_1}N}) = {{|overrightarrow {MP} .overrightarrow {{C_1}N} |} over {|overrightarrow {MP} |.|overrightarrow {{C_1}N} |}} = 0) .  Vậy ((widehat {MP,{C_1}N}) = {90^0}).