Bài 3.54 trang 132 sách bài tập – Hình học 12: Cho hai đường thẳng d: và d1: Lập phương trình mặt phẳng...

Cho hai đường thẳng d:  (left{ {matrix{{x = 6} cr {y = – 2t} cr {z = 7 + t} cr} } ight.) và  d₁: (left{ {matrix{{x = – 2 + t’} cr {y = – 2} cr {z = – 11 – t’} cr} } ight.)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương (overrightarrow a (0; – 2;1)). Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương (overrightarrow b (1;0; – 1)).

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc  chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; – 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: (overrightarrow {AB}  = ( – 8 + t’; – 2 + 2t; – 18 – t – t’))

Ta có: (left{ {matrix{{overrightarrow {AB} ot overrightarrow a } cr {overrightarrow {AB} ot overrightarrow b } cr} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{{overrightarrow {AB} .overrightarrow a = 0} cr {overrightarrow {AB}.overrightarrow b = 0} cr} } ight. )

(Leftrightarrow left{ {matrix{{ – 2( – 2 + 2t) + ( – 18 – t – t’) = 0} cr { – 8 + t’ – ( – 18 – t – t’) = 0} cr} } ight.)

(Leftrightarrow left{ {matrix{{ – 5t – t’ – 14 = 0} cr {t + 2t’ + 10 = 0} cr} } ight. Leftrightarrow  left{ {matrix{{t = – 2} cr {t’ = – 4} cr} } ight.)

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: (overrightarrow {AB}  = ( – 12; – 6; – 12)) . Chọn (overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2))

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁là:

(eqalign{& overrightarrow a wedge overrightarrow b = left( {left| {matrix{{matrix{{ – 2} cr 0 cr} } & {matrix{1 cr { – 1} cr} } cr} } ight|;left| {matrix{{matrix{1 cr { – 1} cr} } & {matrix{0 cr 1 cr} } cr} } ight|;left| {matrix{{matrix{0 cr 1 cr} } & {matrix{{ – 2} cr 0 cr} } cr} } ight|} ight) cr & = left( {2;1;2} ight) cr} )

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

(eqalign{& overrightarrow {{n_Q}} = overrightarrow a wedge left( {overrightarrow a wedge overrightarrow b } ight) cr & = left( {left| {matrix{{matrix{{ – 2} cr 1 cr} } & {matrix{1 cr 2 cr} } cr} } ight|;left| {matrix{{matrix{1 cr 2 cr} } & {matrix{0 cr 2 cr} } cr} } ight|;left| {matrix{{matrix{0 cr 2 cr} } & {matrix{{ – 2} cr 1 cr} } cr} } ight|} ight) = ( – 5;2;4) cr} )

Phương trình của (Q) là : (–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0) hay (–5x + 2y + 4z + 2 = 0)

Để tìm ({d_1} cap (Q))   ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

(–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0)

(Rightarrow  t’ = 4)

(Rightarrow {d_1} cap (Q) = B( – 6; – 2; – 7))

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: (overrightarrow {{n_R}}  = ( – 1;4; – 1))

Phương trình của (R) là ( –x  + 4y – z – 5 = 0.)

Suy ra  (d cap (R) = A(6;4;5))