Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: b) Tính I3 và I5....

Đặt  ({I_n} = intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^n}xdx} ,n in {N^*})

a) Chứng minh rằng  ({I_n} = {{n – 1} over n}{I_{n – 2}},n > 2)

b) Tính I₃ và I₅.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có:  ({I_n} = intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin }^{n – 1}}x.sin xdx} )

Dùng tích phân từng phần với   và  , ta có:

({I_n} = intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^{n – 1}}xsin xdx})

({= – } cos x{sin ^{n – 1}}xleft| {matrix{{{pi over 2}} cr 0 cr} } ight. + (n – 1)intlimits_0^{{pi over 2}} {{{sin }^{n – 2}}x{{cos }^2}xdx} )

( = (n – 1)intlimits_0^{{pi  over 2}} {({{sin }^{n – 2}}x – {{sin }^n}x)dx} )

(=  (n – 1){I_{n – 2}} – (n – 1){I_n})

Vậy ({I_n} = {{n – 1} over n}{I_{n – 2}})

b) ({I_3} = {2 over 3},{I_5} = {8 over {15}})