Bài 1.4 Trang 8 SBT Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số...

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = x – {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}),   x ∈ [0; 2π].

b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

c) (y = sin {1 over x}) , (x > 0)

Hướng dẫn làm bài

a) (y = x – {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}),   x ∈ [0; 2π].

   (y’ = 1 – c{ m{osx }}) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

  Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

    (y’ = 1 – 2sin x) < 0  với  x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

 Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng  (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

c) Xét hàm số (y = sin {1 over x})  với x > 0.

                      (y’ =  – {1 over {{x^2}}}cos {1 over x})

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

           ({1 over {{x^2}}}( – cos {1 over x}) > 0)  ⟺ (cos {1 over x}) < 0

⟺ ({pi  over 2}(1 + 4k) < {1 over x} < {pi  over 2}(3 + 4k)) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ ({2 over {pi (1 + 4k)}} > x > {2 over {pi (3 + 4k)}})  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

(…,({2 over {(4k + 3)pi }};{2 over {(4k + 1)pi }}),({2 over {(4k – 1)pi }};{2 over {(4k – 3)pi }})….,) (({2 over {7pi }};{2 over {5pi }}),({2 over {3pi }};{2 over pi }))

Và nghịch biến trên các khoảng

……, (({2 over {(4k + 1)pi }};{2 over {(4k – 1)pi }}),({2 over {5pi }};{2 over {3pi }})….,({2 over pi }; + infty ))

 với k = 0, 1, 2 …