Bài 3.13 trang 178 sách bài tập – Giải tích 12: Tính các tích phân sau đây:...

Tính các tích phân sau đây:

a) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {(x + 1)cos (x + {pi  over 2}} )dx)                                                       

b) (intlimits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} over {x + 1}}{{log }_2}(x + 1)dx} )

c) (intlimits_{{1 over 2}}^1 {{{{x^2} – 1} over {{x^4} + 1}}} dx)  (đặt (t = x + {1 over x}))                                               

d)(intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin 2xdx} over {3 + 4sin x – cos 2x}}} )

Hướng dẫn làm bài

a) – 2                          

b) ({1 over {2ln 2}}({1 over 2} + {ln ^2}2)) . HD:({{{x^2} + x + 1} over {x + 1}}{log _2}(x + 1) = {1 over {ln 2}}{ m{[}}xln (x + 1) + {{ln (x + 1)} over {x + 1}}{ m{]}})

c)({1 over {2sqrt 2 }}ln {{6 – sqrt 2 } over {6 + sqrt 2 }})   . HD: Đặt (t = x + {1 over x})  , ta nhận được:

(intlimits_{{5 over 2}}^2 {{{dt} over {{t^2} – 2}} = {1 over {2sqrt 2 }}} ln |{{t – sqrt 2 } over {t + sqrt 2 }}|left| {matrix{2 cr {{5 over 2}} cr} } ight. = {1 over {2sqrt 2 }}ln {{6 – sqrt 2 } over {6 + sqrt 2 }})

d) (ln 2 – {1 over 2})   . HD: (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{sin 2xdx} over {3 + 4sin x – cos 2x}} = } intlimits_0^{{pi  over 2}} {sin x.{{d(sin x + 1)} over {{{(sin x + 1)}^2}}}}  = ln 2 – {1 over 2})