Câu 3.2 trang 170 sách bài tập – Giải tích 12: Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm...

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a)  (F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x – 3}}) và (G(x) = {{{x^2} + 10} over {2x – 3}})

b) (F(x) = {1 over {{{sin }^2}x}})  và (G(x) = 10 + {cot ^2}x)

c) (F(x) = 5 + 2{sin ^2}x)  và (G(x) = 1 – cos 2x)

Hướng dẫn làm bài

a) Vì (F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} over {2x – 3}} = {{{x^2} + 10} over {2x – 3}} + 3 = G(x) + 3)  nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của (f(x) = {{2{x^2} – 6x – 20} over {{{(2x – 3)}^2}}})

b) Vì (G(x) = 10 + {cot ^2}x = {1 over {{{sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của (f(x) =  – {{2cos x} over {{{sin }^3}x}})

c) Vì (F'(x) = (5 + 2{sin ^2}x)’ = 2sin 2x)  và (G'(x) = (1 – cos 2x)’ = 2sin 2x) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x