Bài 3.11 trang 177 sách bài tập – Giải tích 12: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi...

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) (intlimits_1^2 {x{{(1 – x)}^5}dx} )  (đặt  t = 1 – x)

b)  (intlimits_0^{ln 2} {sqrt {{e^x} – 1} dx} )   (đặt (t = sqrt {{e^x} – 1} ))

c) (intlimits_1^9 {x oot 3 of {1 – x} dx} )  (đặt (t = oot 3 of {1 – x} ))

d)  (intlimits_{ – 1}^1 {{{2x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx)    (đặt (u = sqrt {{x^2} + x + 1} ) )

e) (intlimits_1^2 {{{sqrt {1 + {x^2}} } over {{x^4}}}} dx)   (đặt (t = {1 over x}))

g)  (intlimits_0^pi  {{{xsin x} over {1 + {{cos }^2}x}}dx} )   (đặt (x = pi  – t)  )

h) (intlimits_{ – 1}^1 {{x^2}{{(1 – {x^3})}^4}dx} )

i) (intlimits_0^1 {{{dx} over {1 + {x^2}}}} )  (đặt (x = an u) )

Hướng dẫn làm bài

a)  ( – {{13} over {42}})                                               

b)    (2 – {pi  over 2})                                   

c) ( – {{468} over 7})

d) (2(sqrt 3  – 1))                                         

e) ( – {1 over 3}({{5sqrt 5 } over 8} – 2sqrt 2 ))

g) ({{{pi ^2}} over 4})  .

HD: Đặt (x = pi  – t)  , ta suy ra:

(intlimits_0^pi  {{{xsin x} over {1 + {{cos }^2}x}}dx}  = {pi  over 2}intlimits_0^pi  {{{sin x} over {1 + {{cos }^2}x}}} dx = {pi  over 2}intlimits_0^pi  {{{ – d(cos x)} over {1 + {{cos }^2}x}}} )

Vậy (intlimits_0^pi  {{{xsin x} over {1 + {{cos }^2}x}}dx}  = {pi  over 2}intlimits_{ – 1}^1 {{{dt} over {1 + {t^2}}}} )  .

Đặt tiếp t = tan u

h) ({{{2^5}} over {15}}) .

HD: Đặt t = 1 – x³

i) ({pi  over 4})