Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích...

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a)  (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos 2xdx} )

b) (intlimits_0^{ln 2} {x{e^{ – 2x}}dx} )

c)   (intlimits_0^1 {ln (2x + 1)dx} )                                                               

d) (intlimits_2^3 {{ m{[}}ln (x – 1) – ln (x + 1){ m{]}}dx} )

e) (intlimits_{{1 over 2}}^2 {(1 + x – {1 over x}){e^{x + {1 over x}}}dx} )

g) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {xcos x{{sin }^2}xdx} )

h) (intlimits_0^1 {{{x{e^x}} over {{{(1 + x)}^2}}}} dx)

i) (intlimits_1^e {{{1 + xln x} over x}} {e^x}dx)

Hướng dẫn làm bài

a)  ( – {1 over 2})                  

b)  ({1 over 4}({3 over 4} – {{ln 2} over 2}))                           

c) ({3 over 2}ln 3 – 1)                   

d) (3ln 3 – 6ln 2)

e) ({3 over 2}{e^{{5 over 2}}}) .

HD: (intlimits_{{1 over 2}}^2 {(1 + x – {1 over x}){e^{x + {1 over x}}}dx = } intlimits_{{1 over 2}}^2 {{e^{x + {1 over x}}}} dx + intlimits_{{1 over 2}}^2 {(x – {1 over x}){e^{x + {1 over x}}}dx} )

Tính tích phân từng phần: (intlimits_{{1 over 2}}^2 {{e^{x + {1 over x}}}dx = x{e^{x + {1 over x}}}left| {matrix{2 cr {{1 over 2}} cr} } ight.} – intlimits_{{1 over 2}}^2 {(x – {1 over x}){e^{x + {1 over x}}}dx} )

g)  ({pi  over 6} – {2 over 9}) 

HD: Đặt  (u = x,dv = cos x{sin ^2}xdx)

h) ({e over 2} – 1). HD:  (intlimits_0^1 {{{x{e^x}} over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = intlimits_0^1 {{{{e^x}} over {1 + x}}dx}  – intlimits_0^1 {{{{e^x}} over {{{(1 + x)}^2}}}dx} ) và tính tích phân từng phần : 

(intlimits_0^1 {{{x{e^x}} over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ – {e^x}} over {1 + x}}left| {matrix{
1 cr 0 cr} + } ight.intlimits_0^1 {{{{e^x}} over {1 + x}}dx} )

i) e^e  . HD: Tương tự câu g)