Bài 22 trang 218 SBT Toán Đại số 10: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính...

Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

a) (cos {67^0}30’) và ({ m{cos7}}{{ m{5}}^0})

b) ({{cos {{15}^0} + 1} over {2cot {{15}^0}}})

c) ( an {20^0} an {40^0} an {80^0})

d) (cos {pi  over 7}cos {{4pi } over 7}cos {{5pi } over 7})

Gợi ý làm bài

a) (cos {67^0}30′ = cos {{{{135}^0}} over 2} = sqrt {{{1 + cos {{135}^0}} over 2}} )

( = sqrt {{{1 – {{sqrt 2 } over 2}} over 2}}  = {{sqrt {2 – sqrt 2 } } over 2})

(cos {75^0} = cos ({45^0} + {30^0}) = {{sqrt 2 } over 4}(sqrt 3  – 1))

b) 

(eqalign{
& cos {30^0} = {1 over { an {{2.15}^0}}} cr
& = {{1 – {{ an }^2}{{15}^0}} over {2 an {{15}^0}}} = {{{{cot }^2}{{15}^0} – 1} over {2cot {{15}^0}}} cr} )

Đặt (x = cos {15^0}) và chú ý rằng (cos {30^0} = sqrt 3 ) ta có

(sqrt 3  = {{{x^2} – 1} over {2x}} Leftrightarrow {x^2} – 2sqrt 3  – 1 = 0)

Giải phương trình trên ta được (x = 2 + sqrt 3 ) (nghiệm (x = sqrt 3  – 2) loại vì (cot {15^0} > 0)). Do đó

(eqalign{
& {{{{cot }^2}{{15}^0} + 1} over {2cot {{15}^0}}} = {{2 + sqrt 3 + 1} over {2(2 + sqrt 3 )}} cr
& = {{3 + sqrt 3 } over {2(2 + sqrt 3 )}} = {{3 – sqrt 3 } over 2} cr} )

c) Ta có:

( an {20^0} an {40^0} an {80^0} =  – an {20^0} an {40^0} an {100^0})

( =  – an ({60^0} – {40^0}) an {40^0} an ({60^0} + {40^0}))

( =  – {{ an {{60}^0} – an {{40}^0}} over {1 + an {{60}^0} an {{40}^0}}} an {40^0}{{ an {{60}^0} + an {{40}^0}} over {1 – an {{60}^0} an {{40}^0}}})

( =  – {{3 – {{ an }^2}{{40}^0}} over {1 – 3{{ an }^2}{{40}^0}}} an {40^0} =  – an {120^0} = sqrt 3 )

d) Hướng dẫn: Nhân thêm (sin {pi  over 7})

Đáp số: ({1 over 8})