Bài 2.20 trang 92 bài tập SBT môn Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung...

Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng (overrightarrow {MH} .overrightarrow {MA}  = {1 over 4}B{C^2})

Gợi ý làm bài

(h.2.24)

Ta có (overrightarrow {AM}  = {1 over 2}(overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC} ))

(overrightarrow {HM}  = {1 over 2}(overrightarrow {HB}  + overrightarrow {HC} ))

( =  > overrightarrow {AM} .overrightarrow {HM}  = {1 over 4}(overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC} ).(overrightarrow {HB}  + overrightarrow {HC} ))

( = {1 over 4}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {HB}  + underbrace {overrightarrow {AB} .overrightarrow {HC} }_{ = 0} + underbrace {overrightarrow {AC} overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {HC} ))

( = {1 over 4}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {HB}  + overrightarrow {AC} .overrightarrow {HC} ))

( = {1 over 4}left[ {overrightarrow {AB} .(overrightarrow {HC}  + overrightarrow {CB} ) + overrightarrow {AC} .(overrightarrow {HB}  + overrightarrow {BC} )} ight])

( = {1 over 4}left[ {underbrace {overrightarrow {AB} .overrightarrow {HC} }_0 + overrightarrow {AB} .overrightarrow {CB}  + underbrace {overrightarrow {AC} .overrightarrow {HB} }_0 + overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC} } ight])

( = {1 over 4}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {CB}  + overrightarrow {AC} .overrightarrow {BC} ) = {1 over 4}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {CB}  – overrightarrow {AC} .overrightarrow {CB} ))

( = {1 over 4}overrightarrow {CB} .(underbrace {overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AC} }_{overrightarrow {CB} }) = {1 over 4}{overrightarrow {CB} ^2} = {1 over 4}{overrightarrow {BC} ^2})