Bài 18 trang 199 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): ({{{x^2}} over 4} + {y^2} = 1) và điểm (Aleft( { – 1;{1 over 2}} ight)). Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.41)

Phương trình đường thẳng d có dạng

(y – {1 over 2} = m(x + 1))

( Leftrightarrow y = m(x + 1) + {1 over 2}.)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là : 

(eqalign{
& {{{x^2}} over 4} + {left( {mx + m + {1 over 2}} ight)^2} = 1 cr
& Leftrightarrow {x^2} + 4{left[ {mx + left( {m + {1 over 2}} ight)} ight]^2} = 4 cr} )

(Leftrightarrow left( {4{m^2} + 1} ight){x^2} + 4left[ {left( {2m + 1} ight)m} ight]x + 4{left( {m + {1 over 2}} ight)^2} – 4 = 0.)

A là trung điểm của MN 

(eqalign{
& Leftrightarrow {{{x_M} + {x_N}} over 2} = {x_A} cr
& Leftrightarrow {{ – 4(2{m^2} + m)} over {2(4{m^2} + 1)}} = – 1 cr} )

( Leftrightarrow 4{m^2} + 2m = 4{m^2} + 1 Leftrightarrow m = {1 over 2}.)