Bài 22 trang 199 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ({x_A} = 2), điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.45)

Đặt A(2 ; a); K(0 ; k); C(0 ; c); I(1 ; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có:

({{a + c} over 2} = 0 Rightarrow c =  – a.)

(AD = 2AB Rightarrow AK = 2KI.) Ta có: (overrightarrow {AK}  = ( – 2;k – 1),,overrightarrow {IK}  = ( – 1;k))

(left{ matrix{
overrightarrow {AK} .overrightarrow {IK} = o hfill cr
left| {overrightarrow {AK} } ight| = 2left| {overrightarrow {IK} } ight| hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2 + k(k – a) = 0 hfill cr
{overrightarrow {AK} ^2} = 4{overrightarrow {IK} ^2} hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
k – a = – {k over 2},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill cr
4 + {(k – a)^2} = 4(1 + {k^2}),,,,(2) hfill cr} ight.)

Thay (1) vào (2) ta được:

(eqalign{
& 4 + {4 over {{k^2}}} = 4left( {1 + {k^2}} ight) cr
& Leftrightarrow 4{k^2} + 4 = 4{k^2} + 4{k^4} cr
& Leftrightarrow {k^2} = 1 Leftrightarrow k = – 1,,(k < 0). cr} )

Suy ra a = -3.

Vậy A(2 ; -3), C(0 ; 3) và K(0 ; -1).

Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {AD} = 2overrightarrow {AK} Rightarrow left{ matrix{
{x_D} – 2 = 2.(0 – 2) hfill cr
{y_D} + 3 = 2.( – 1 + 3) hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left{ matrix{
{x_D} = 2 hfill cr
{y_D} = 1. hfill cr} ight. cr} )

Vậy D(-2 ; 1)

Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {DB} = 2overrightarrow {DI} Rightarrow left{ matrix{
{x_B} + 2 = 2.(1 + 2) hfill cr
{y_B} – 1 = 2.(0 – 1) hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left{ matrix{
{x_B} = 4 hfill cr
{y_B} = – 1. hfill cr} ight. cr} )

Vậy B(4 ; -1).