Bài 12 trang 198 Sách bài tập Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1left( {a > b > 1} ight).) Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng ({1 over {O{M^2}}} + {1 over {O{N^2}}}) không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.35)

Gọi y = kx và (y =  – {1 over k}x) là phương trình của Ou và Ov. 

Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E):

({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{k^2}{x^2}} over {{b^2}}} = 1 Leftrightarrow x_M^2 = {{{a^2}{b^2}} over {{b^2} + {k^2}{a^2}}}.)

Ta có : 

(eqalign{
& O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 cr
& = x_M^2 + {k^2}x_M^2 = x_M^2({k^2} + 1) cr
& = {{{a^2}{b^2}(1 + {k^2})} over {{b^2} + {k^2}{a^2}}} cr} )

………….

Suy ra : ({1 over {O{M^2}}} = {{{b^2} + {k^2}{a^2}} over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}.)

Tương tự:

(eqalign{
& {1 over {O{N^2}}} = {{{b^2} + {1 over {{k^2}}}{a^2}} over {{a^2}{b^2}left( {1 + {1 over {{k^2}}}} ight)}} cr
& = {{{a^2} + {k^2}{b^2}} over {{a^2}{b^2}(1 + {k^2})}}. cr} )

Suy ra: 

(eqalign{
& {1 over {O{M^2}}} + {1 over {O{N^2}}} cr
& = {{{a^2} + {b^2} + {k^2}left( {{a^2} + {b^2}} ight)} over {{a^2}{b^2}left( {1 + {k^2}} ight)}} cr
& = {{{a^2} + {b^2}} over {{a^2}{b^2}}}. cr} )

Vậy ({1 over {O{M^2}}} + {1 over {O{N^2}}}) không đổi.

Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.

Ta có : ({1 over {O{H^2}}} = {1 over {O{M^2}}} + {1 over {O{N^2}}} = {{{a^2} + {b^2}} over {{a^2}{b^2}}}.)

Suy ra: (OH = {{ab} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = R) không đổi

Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính (R = {{ab} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.)