Bài 19 trang 199 SBT môn Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD...

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(2;-1), phương trình một đường chéo là x – 7y + 15 = 0 và độ dài cạnh AB = (3sqrt 2 ). Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết ${y_B}$ là số nguyên

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.42)

Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng x – 7y + 15 = 0 nên phương trình đường chéo BD là : x – 7y + 15 = 0, tọa độ điểm B là B(7t – 15;t).

Ta có : 

(AB = 3sqrt 2  Leftrightarrow {left( {7t – 17} ight)^2} + {left( {t + 1} ight)^2} = 18)

(eqalign{
& Leftrightarrow 50{t^2} – 236t + 272 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = 2 hfill cr
t = {{68} over {25}},,,(*) hfill cr} ight. cr} )

( (*) loại)

Vậy B(-1 ; 2)

Ta có ({overrightarrow n _{AD}} = overrightarrow {AB}  = ( – 3;3) =  – 3(1; – 1))

Phương trình đường thẳng AD là : 

(eqalign{
& 1.(x – 2) – 1.(y + 1) = 0 cr
& Leftrightarrow x – y – 3 = 0. cr} )

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x – y – 3 = 0 hfill cr
x – 7y + 15 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 6 hfill cr
y = 3. hfill cr} ight.)

Vậy D(6 ; 3).

Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I.

Suy ra:

(eqalign{
& left{ matrix{
{{{x_C} + {x_A}} over 2} = {{{x_B} + {x_D}} over 2} = {5 over 2} hfill cr
{{{y_C} + {y_A}} over 2} = {{{y_B} + {y_D}} over 2} = {5 over 2} hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left{ matrix{
{x_C} = 3 hfill cr
{y_C} = 6. hfill cr} ight. cr} )

Vậy C(3 ; 6).