Bài 5 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

(a),fleft( x ight) = {{9{x^2}} over {sqrt {1 – {x^3}} }})                   (b),fleft( x ight) = {1 over {sqrt {5x + 4} }})

(c),fleft( x ight) = x oot 4 of {1 – {x^2}} )             (d),fleft( x ight) = {1 over {sqrt x {{left( {1 + sqrt x } ight)}^2}}})

Giải

a) Đặt (u = sqrt {1 – {x^3}}  Rightarrow {u^2} = 1 – {x^3} Rightarrow 2udu =  – 3{x^2}dx Rightarrow {x^2}dx =  – {2 over 3}udu)
Ta có: (int {{{9{x^2}} over {sqrt {1 – {x^3}} }}dx}  = int {{{9.{-2 over 3}udu} over u} =  – 6int {du =  – 6u + C =  – 6sqrt {1 – {x^3}}  + C} } )
b) Đặt (u = sqrt {5x + 4}  Rightarrow {u^2} = 5x + 4 Rightarrow 2udu = 5dx Rightarrow dx = {{2u.du} over 5})
Do đó: (int {{{dx} over {sqrt {5x + 4} }}}  = int {{{2udu} over {5u}} = {2 over 5}u + C = {2 over 5}sqrt {5x + 4}  + C} )
c) Đặt (u = oot 4 of {1 – {x^2}}  Rightarrow {u^4} = 1 – {x^2} Rightarrow 4{u^3}du =  – 2xdx Rightarrow xdx =  – 2{u^3}du)
Do đó: (int {x oot 4 of {1 – {x^2}} dx = int { – 2{u^4}du}  = -{{2{u^5}} over 5} + C =  – {2 over 5} oot 4 of {left( {1 – {x^2}} ight)5,}  + C} )
d) Đặt (u = 1 + sqrt x  Rightarrow du = {{du} over {2sqrt x }} Rightarrow {{dx} over {sqrt x }} = 2du)

(,,, Rightarrow int {{{dx} over {sqrt x {{left( {1 + sqrt x } ight)}^2}}}}  = int {{{2u} over {{u^2}}}}  =  – {2 over u} + C =  – {2 over {1 + sqrt x }} + C.)