Bài 16 trang 181 Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình...

Bài 16. Giải các phương trình

a) (f’(x) = g(x)) với (f(x) = sin^3 2x) và (g(x) = 4cos2x – 5sin4x)

b) (f’(x) = 0) với (f(x) = 20cos3x + 12cos5x – 15cos4x).

Trả lời:

a) Ta có: (f(x) = sin^3 2x)

(⇒  f’(x) – 3sin^2 2x (sin2x)’ = 6sin^2 2x cos2x)

Do đó:

(eqalign{
& f'(x) = g(x) Leftrightarrow 6si{n^2}2xcos 2x = 4cos 2x – 5sin 4x cr
& Leftrightarrow 6si{n^2}2xcos 2x = 4cos 2x – 10sin 2xcos 2x cr
& Leftrightarrow cos 2x(3{sin ^2}2x + 5sin 2x – 2) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos 2x = 0(1) hfill cr
3{sin ^2}2x + 5sin 2x – 2 = 0 hfill cr} ight.(2) cr} )

Giải (1): (2x = {pi  over 2} + kpi (k in mathbb Z) Leftrightarrow x = {pi  over 4} + {{kpi } over 2} (k in mathbb Z))

Giải (2): (sin 2x = -2) ( loại ) hoặc (sin 2x = {1 over 3})

(eqalign{
& sin 2x = {1 over 3} Leftrightarrow left[ matrix{
2x = arcsin ({1 over 3}) + k2pi hfill cr
2x = pi – arcsin ({1 over 3}) + k2pi hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {1 over 2}arcsin ({1 over 3}) + {kpi }  hfill cr
x = {pi over 2} – {1 over 2}arcsin ({1 over 2}) + {kpi }  hfill cr} ight.;k in mathbb Z cr} )

Tóm lại, phương trình đã cho có ba nghiệm là:

(left[ matrix{
x = {pi over 4} + {{kpi } over 2} hfill cr
x = {1 over 2}arcsin ({1 over 3}) + {kpi }  hfill cr
x = {pi over 2} – {1 over 2}arcsin ({1 over 2}) + {kpi }  hfill cr} ight.;k in mathbb Z)

b) Ta có: (f’(x) = -60sin 3x – 60 sin 5x + 60 sin4x = 0)

Do đó:

(eqalign{
& f'(x) = 0 Leftrightarrow – sin 3x – sin 5x + sin 4x = 0 cr
& Leftrightarrow sin 5x + sin 3x – sin 4x=0 cr
& Leftrightarrow 2sin 4x{mathop{ m cosx} olimits} – sin4x = 0 cr
& Leftrightarrow sin4x(2cosx – 1) = 0 cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow left[ matrix{
sin 4x = 0 hfill cr
{mathop{ m cosx} olimits} = {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
4x = kpi hfill cr
x = pm {pi over 3} + k2pi hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = k{pi over 4} hfill cr
x = pm {pi over 3} + k2pi hfill cr} ight.;k inmathbb Z cr})