Bài 10 trang 180 Đại số và giải tích 11: Tính các giới hạn sau...

Bài 10. Tính các giới hạn sau

a) (lim {{(n + 1){{(3 – 2n)}^2}} over {{n^3} + 1}})

b) (lim ({1 over {{n^2} + 1}} + {2 over {{n^2} + 1}} + {3 over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} over {{n^2} + 1}}))

c) (lim {{sqrt {4n + 1}  + n} over {2n + 1}})

d) (lim sqrt n (sqrt {n – 1}  – sqrt n ))

Trả lời:

a)

(eqalign{
& lim {{(n + 1){{(3 – 2n)}^2}} over {{n^3} + 1}} = lim {{(1 + {1 over n}){{({3 over n} – 2)}^2}} over {1 + {1 over {{n^3}}}}} cr
& = {{(1 + 0){{(0 – 2)}^2}} over {1 + 0}} = 4 cr} )

b)

(eqalign{
& {1 over {{n^2} + 1}} + {2 over {{n^2} + 1}} + {3 over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} over {{n^2} + 1}} cr
& = {{1 + 2 + … + n – 1} over {{n^2} + 1}} cr
& = {{{{n(n – 1)} over 2}} over {{n^2} + 1}} = {{{n^2} -n} over {2({n^2} + 1)}} cr
& Rightarrow lim ({1 over {{n^2} + 1}} + {2 over {{n^2} + 1}} + {3 over {{n^2} + 1}} + … + {{n – 1} over {{n^2} + 1}}) cr
& = lim{{{n^2} -n} over {2({n^2} + 1)}} cr
& = lim {{{n^2}(1 – {1 over n} )} over {2{n^2}(1 + {1 over {{n^2}}})}} cr
& = lim {{1 – {1 over n} } over {2(1 + {1 over {{n^2}}})}} = {1 over 2} cr} )

c)

(eqalign{
& lim {{sqrt {4n^2 + 1} + n} over {2n + 1}} cr
& = lim {{n.sqrt {4 + {1 over {{n^2}}}} + n} over {2n + 1}} cr
& = lim {{n.(sqrt {4 + {1 over {{n^2}}}} + 1)} over {n(2 + {1 over n})}} cr
& = lim {{sqrt {4 + {1 over {{n^2}}}} + 1} over {2 + {1 over n}}} cr
& = {{2 + 1} over 2} = {3 over 2} cr} )

d)

(eqalign{
& lim sqrt n (sqrt {n – 1} – sqrt n ) cr
& = lim {{sqrt n (sqrt {n – 1} – sqrt n )(sqrt {n – 1} + sqrt n )} over {sqrt {n – 1} + sqrt n }} cr
& = lim {{sqrt n left[ {(n – 1) – n} ight]} over {sqrt {n – 1} + sqrt n }} cr
& = lim {{ – sqrt n } over {sqrt n left[ {sqrt {1 – {1 over n}} + 1} ight]}} cr
& = lim {{ – 1} over {sqrt {1 – {1 over n}} + 1}} = – {1 over 2} cr} )