Bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) (y={x^2},y =x + 2);   

b) (y = |lnx|, y = 1);

c) (y = {left( x-6 ight)}^2,y = 6x-{x^2}) 

Lời giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:  (f(x) = x^2-x -2 =0 ⇔(x+1)(x-2)=0  ⇔left[ egin{array}{l}x + 1=0x - 2=0end{array} ight. ⇔ left[ egin{array}{l}x = - 1x = 2end{array} ight..) 

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

(S=int_{-1}^{2}left |x^{2}- x- 2 ight |dx = left | int_{-1}^{2}left (x^{2}- x- 2 ight ) dx ight |)

    (=left |frac{x^{3}}{3}-frac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} ight |=left |frac{8}{3}-2-4-(frac{1}{3}-frac{1}{2}+2) ight |)(= frac{9}{2}) (đvdt).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 

(f(x) = 1 - |lnx| = 0  ⇔ lnx = ± 1⇔left[ egin{array}{l}x = ex =  frac{1}{e}end{array} ight..) 

                                                 

Ta có:  (y = |lnx| = lnx)  nếu  (lnx ≥ 0),  tức là  (x ≥ 1).

hoặc  (y = |lnx| = - lnx)  nếu  (lnx < 0), tức là  (0 < x < 1).

Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :  

(S=int_{frac{1}{e}}^{e}|1- |lnx||dx =int_{frac{1}{e}}^{1}(1+lnx)dx +int_{1}^{e}(1-lnx)dx)

     (= x|_{frac{1}{e}}^{1}+int_{frac{1}{e}}^{1}lnxdx +x|_{1}^{e}-int_{1}^{e}lnxdx)

     (=-frac{1}{e}+e+int_{frac{1}{e}}^{1}lndx-int_{1}^{e}lnxdx) 

Ta có  (∫lnxdx = xlnx - ∫dx = xlnx  –  x  + C),  thay vào trên ta được  :

(S=e-frac{1}{e}+(xlnx-x)|_{frac{1}{e}}^{1}- (xlnx-x)|_{1}^{e}=e+frac{1}{e}-2) (đvdt).

c) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(fleft( x ight) =6x-{x^2}-{left( {x -6} ight)^2} = - 2({x^2}-9x+ 18)=0)

(⇔  - 2({x^2}-9x+ 18) ⇔ (x-3)(x-6)=0⇔ left[ egin{array}{l}x - 3=0x - 6=0end{array} ight.⇔left[ egin{array}{l}x = 3x = 6end{array} ight..) 

Diện tích cần tìm là:

(S=int_{3}^{6}|-2(x^{2}-9x+18)|dx)

(=|2int_{3}^{6}(x^{2}-9x+18)dx|)

(=left |2(frac{x^{3}}{3}-frac{9}{2}x^{2}+18x)|_{3}^{6} ight | =45-36=9 , , (đvdt)).

soanbailop6.com