Bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: ...
Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
Đề bài
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) (∫xln(1+x)dx); b) (int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx})
c) (∫xsin(2x+1)dx); d) (int (1-x)cosxdx)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Đặt (left{ egin{array}{l}u = uleft( x ight)dv = v'left( x ight)dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = u'left( x ight)dxv = vleft( x ight)end{array} ight..)
Khi đó ta có: (int {fleft( x ight)dx} = uleft( x ight)vleft( x ight) - int {u'left( x ight)vleft( x ight)dx} .)
Lời giải chi tiết
(a);;int {xln left( {1 + x} ight)dx.} )
Đặt: (left{ egin{array}{l}u = ln left( {1 + x} ight)dv = xdxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = frac{1}{{x + 1}}dxv = frac{{{x^2}}}{2}end{array} ight..)
(egin{array}{l} Rightarrow int {xln left( {1 + x} ight)dx = frac{{{x^2}}}{2}ln left( {1 + x} ight) - int {frac{{{x^2}}}{{2left( {x + 1} ight)}}dx} } = frac{{{x^2}}}{2}ln left( {1 + x} ight) - frac{1}{2}int {left( {frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = frac{{{x^2}}}{2}ln left( {1 + x} ight) - frac{1}{2}int {left( {x - 1 + frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = frac{{{x^2}}}{2}ln left( {1 + x} ight) - frac{1}{2}left( {frac{{{x^2}}}{2} - x + ln left( {1 + x} ight)} ight) + C = frac{{{x^2}}}{2}ln left( {1 + x} ight) - frac{{{x^2}}}{4} + frac{x}{2} - frac{1}{2}ln left( {1 + x} ight) + C= frac{1}{2}left( {{x^2} - 1} ight)ln left( {1 + x} ight) - frac{{{x^2}}}{4} + frac{x}{2} + C.end{array})
(b);int {left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x}dx.} )
Đặt: (left{ egin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1dv = {e^x}dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = left( {2x + 2} ight)dxv = {e^x}end{array} ight..)
(egin{array}{l} Rightarrow int {left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x}dx = left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x} - int {left( {2x + 2} ight){e^x}dx} } = left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x} - 2int {left( {x + 1} ight){e^x}dx} .end{array})
Xét (int {left( {x + 1} ight){e^x}dx:} )
Đặt: (left{ egin{array}{l}u = x + 1dv = {e^x}dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = dxv = {e^x}end{array} ight..)
(egin{array}{l}Rightarrow int {left( {x + 1} ight){e^x}dx} = left( {x + 1} ight){e^x} - int {{e^x}dx} = left( {x + 1} ight){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C. Rightarrow int {left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x}dx} = left( {{x^2} + 2x - 1} ight){e^x} - 2x{e^x} + C = left( {{x^2} - 1} ight){e^x} + C.end{array})
(c);;int {xsin left( {2x + 1} ight)dx} .)
Đặt: (left{ egin{array}{l}u = xdv = sin left( {2x + 1} ight)dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = dxv = - frac{1}{2}cos left( {2x + 1} ight)end{array} ight..)
(egin{array}{l} Rightarrow int {xsin left( {2x + 1} ight)dx} = - frac{1}{2}xcos left( {2x + 1} ight) + frac{1}{2}int {cos left( {2x + 1} ight)dx} = - frac{1}{2}xcos left( {2x + 1} ight) + frac{1}{4}sin left( {2x + 1} ight) + C.end{array})
(d);;int {left( {1 - x} ight)cos xdx} )
Đặt: (left{ egin{array}{l}u = 1 - xdv = cos xdxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = - dxv = sin xend{array} ight..)
(egin{array}{l}Rightarrow int {left( {1 - x} ight)cos xdx} = left( {1 - x} ight)sin x + int {sin xdx} = left( {1 - x} ight)sin x - cos x + C.end{array})
soanbailop6.com
