Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12
Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau: ...
Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau:
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a)(int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}}sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx) b) (int_{0}^{frac{pi}{2}}sin(frac{pi}{4}-x)dx)
c)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1}{x(x+1)}dx) d) (int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx)
e)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx) g) (int_{frac{-pi}{2}}^{frac{pi}{2}}sin3xcos5xdx)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng (intlimits_{}^{} {{{left( {ax + b} ight)}^n}dx} = frac{1}{a}frac{{{{left( {ax + b} ight)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C)
b) Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: (intlimits_{}^{} {sin left( {ax + b} ight)dx} = - frac{1}{a}cos left( {ax + b} ight) + C).
c) Sử dụng phân tích: (frac{1}{{xleft( {x + 1} ight)}} = frac{1}{x} - frac{1}{{x + 1}}) sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: (intlimits_{}^{} {frac{1}{{ax + b}}dx} = frac{1}{a}.ln left| {ax + b} ight| + C).
d) Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: (intlimits_{}^{} {{x^n}dx} = frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C).
e) Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : (frac{{1 - 3x}}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = frac{A}{{x + 1}} + frac{B}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}}) và sử dụng các công thức nguyên hàm: (intlimits_{}^{} {frac{{dx}}{{ax + b}}} = frac{1}{a}ln left| {ax + b} ight| + C;,,intlimits_{}^{} {frac{{dx}}{{{{left( {ax + b} ight)}^2}}}} = frac{1}{a}frac{{ - 1}}{{ax + b}} + C)
g) Cách 1:
Chứng minh hàm số (fleft( x ight) = sin 3xcos 5x) là hàm số lẻ và áp dụng công thức (intlimits_{ - a}^a {fleft( x ight)dx} = 0) (Với f(x) là hàm số lẻ, (a in R).
Cách 2:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Lời giải chi tiết
(egin{array}{l}a) ,,,intlimits_{ - frac{1}{2}}^{frac{1}{2}} {sqrt[3]{{{{left( {1 - x} ight)}^2}}}dx} = intlimits_{ - frac{1}{2}}^{,frac{1}{2}} {{{left( {1 - x} ight)}^{frac{2}{3}}}dx} = left. { - 1.frac{{{{left( {1 - x} ight)}^{frac{5}{3}}}}}{{frac{5}{3}}}} ight|_{ - frac{1}{2}}^{frac{1}{2}} = - frac{3}{5}.left[ {{{left( {frac{1}{2}} ight)}^{frac{5}{3}}} - {{left( {frac{3}{2}} ight)}^{frac{5}{3}}}} ight]= - frac{3}{5}left[ {frac{1}{{sqrt[3]{{{2^5}}}}} - frac{{sqrt[3]{{{3^5}}}}}{{sqrt[3]{{{2^5}}}}}} ight] = - frac{3}{5}left[ {frac{1}{{sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}} - frac{{sqrt[3]{{{3^3}{{.3}^2}}}}}{{sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}}} ight]= - frac{3}{5}left[ {frac{1}{{2sqrt[3]{4}}} - frac{{3sqrt[3]{9}}}{{2sqrt[3]{4}}}} ight] = frac{3}{{10sqrt[3]{4}}}left( {3sqrt[3]{9} - 1} ight)end{array})
(b),,intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin left( {frac{pi }{4} - x} ight)dx} = left. {cos left( {frac{pi }{4} - x} ight)} ight|_0^{frac{pi }{2}} = cos left( { - frac{pi }{4}} ight) - cos frac{pi }{4} = 0)
c) Ta có: (frac{1}{{xleft( {x + 1} ight)}} = frac{1}{x} - frac{1}{{x + 1}})
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{1}{{xleft( {x + 1} ight)}}dx} = intlimits_{frac{1}{2}}^2 {left( {frac{1}{x} - frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = left. {left( {ln left| x ight| - ln left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_{frac{1}{2}}^2 = left. {ln left| {frac{x}{{x + 1}}} ight|} ight|_{frac{1}{2}}^2= ln frac{2}{3} - ln frac{1}{3} = ln left( {frac{2}{3}:frac{1}{3}} ight) = ln 2end{array}).
(egin{array}{l}d),,x{left( {x + 1} ight)^2} = xleft( {{x^2} + 2x + 1} ight) = {x^3} + 2{x^2} + xRightarrow intlimits_0^2 {x{{left( {x + 1} ight)}^2}dx} = intlimits_0^2 {left( {{x^3} + 2{x^2} + x} ight)dx} = left. {left( {frac{{{x^4}}}{4} + 2frac{{{x^3}}}{3} + frac{{{x^2}}}{2}} ight)} ight|_0^2 = frac{{34}}{3}end{array})
(egin{array}{l}e),,frac{{1 - 3x}}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = frac{{ - 3left( {x + 1} ight) + 4}}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}} = - frac{3}{{x + 1}} + frac{4}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}}Rightarrow intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{{1 - 3x}}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}}dx} = intlimits_{frac{1}{2}}^2 {left( { - frac{3}{{x + 1}} + frac{4}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight)dx} = - 3intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{{dx}}{{x + 1}}} + 4intlimits_{frac{1}{2}}^2 {frac{{dx}}{{{{left( {x + 1} ight)}^2}}}} = - left. {3ln left| {x + 1} ight|} ight|_{frac{1}{2}}^2 - left. {frac{4}{{x + 1}}} ight|_{frac{1}{2}}^2= - 3left( {ln 3 - ln frac{3}{2}} ight) - 4left( {frac{1}{3} - frac{2}{3}} ight)= - 3ln 2 + frac{4}{3}end{array})
g) Cách 1:
Đặt (f(x) = sin3xcos5x) ta có: (fleft( { - x} ight) = sin left( { - 3x} ight)cos left( { - 5x} ight) = - sin 3xcos 5x = - fleft( x ight) Rightarrow ) là hàm số lẻ, từ đó ta có: (intlimits_{ - frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}} {sin 3xcos 5xdx} = 0).
Cách 2:
(egin{array}{l}sin 3xcos 5x = frac{1}{2}left( {sin 8x - sin 2x} ight)Rightarrow intlimits_{ - frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}} {sin 3xcos 5xdx} = frac{1}{2}intlimits_{ - frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}} {left( {sin 8x - sin 2x} ight)dx} = frac{1}{2}left. {left( { - frac{{cos 8x}}{8} + frac{{cos 2x}}{2}} ight)} ight|_{ - frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}= frac{1}{2}left( { - frac{5}{8} - left( { - frac{5}{8}} ight)} ight) = 0end{array})
soanbailop6.com
