Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Giải bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân. ...
Giải bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân.
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) (int_{0}^{1}(1+3x)^{frac{3}{2}}dx) ; b) (int_{0}^{frac{1}{2}}frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx)
c) (int_{1}^{2}frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) (intlimits_{}^{} {{{left( {ax + b} ight)}^n}} = frac{1}{a}frac{{{{left( {ax + b} ight)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C).
b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.
+) Chia tử số cho mẫu số.
c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt (left{ egin{array}{l}u = ln left( {1 + x} ight)dv = frac{1}{{{x^2}}}dxend{array} ight.)
Lời giải chi tiết
(egin{array}{l}a),,intlimits_0^1 {{{left( {1 + 3x} ight)}^{frac{3}{2}}}dx} = left. {frac{1}{3}.frac{{{{left( {1 + 3x} ight)}^{frac{3}{2} + 1}}}}{{frac{3}{2} + 1}}} ight|_0^1= left. {frac{2}{{15}}.{{left( {1 + 3x} ight)}^{frac{5}{2}}}} ight|_0^1 = frac{2}{{15}}left( {{4^{frac{5}{2}}} - 1} ight) = frac{2}{{15}}.31 = frac{{62}}{{15}}end{array})
(egin{array}{l}b),,,intlimits_0^{frac{1}{2}} {frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = intlimits_0^{frac{1}{2}} {frac{{left( {x - 1} ight)left( {{x^2} + x + 1} ight)}}{{left( {x - 1} ight)left( {x + 1} ight)}}dx} = intlimits_0^{frac{1}{2}} {frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = intlimits_0^{frac{1}{2}} {frac{{xleft( {x + 1} ight) + 1}}{{x + 1}}dx} = intlimits_0^{frac{1}{2}} {left( {x + frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = left. {left( {frac{{{x^2}}}{2} + ln left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^{frac{1}{2}}= frac{1}{8} + ln frac{3}{2}end{array})
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_1^2 {frac{{ln left( {1 + x} ight)}}{{{x^2}}}dx} = left. { - frac{1}{x}ln left( {1 + x} ight)} ight|_1^2 + intlimits_1^2 {frac{{dx}}{{xleft( {1 + x} ight)}}} = - frac{1}{2}ln 3 + ln 2 + intlimits_1^2 {left( {frac{1}{x} - frac{1}{{1 + x}}} ight)dx} = - frac{1}{2}ln 3 + ln 2 + left. {ln left| {frac{x}{{1 + x}}} ight|} ight|_1^2= - frac{1}{2}ln 3 + ln 2 + ln frac{2}{3} - ln frac{1}{2}= ln frac{1}{{sqrt 3 }} + ln 2 + ln frac{2}{3} - ln frac{1}{2} = ln frac{{8sqrt 3 }}{9}end{array})
