Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12
Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân: ...
Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
Đề bài
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)(int_{0}^{frac{pi}{2}}(x+1)sinxdx) ; b) (int_{1}^{e}x^{2}lnxdx)
c)(int_{0}^{1}ln(1+x))dx) ; d)(int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp tích phân từng phần: (intlimits_a^b {udv} = left. {uv} ight|_a^b - intlimits_a^b {vdu} ).
a) Đặt (left{ egin{array}{l}u = x + 1dv = sin xdxend{array} ight.)
b) Đặt (left{ egin{array}{l}u = ln xdv = {x^2}dxend{array} ight.)
c) Đặt (left{ egin{array}{l}u = ln left( {1 + x} ight)dv = dxend{array} ight.)
d) Đặt (left{ egin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1dv = {e^{ - x}}dxend{array} ight.)
Lời giải chi tiết
a) Đặt (left{ egin{array}{l}u = x + 1dv = sin xdxend{array} ight.) ( Rightarrow left{ egin{array}{l}du = dxv = - cos xend{array} ight.)
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {x + 1} ight)sin xdx} = left. { - left( {x + 1} ight)cos x} ight|_0^{frac{pi }{2}} + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {cos xdx} = left. { - left( {x + 1} ight)cos x} ight|_0^{frac{pi }{2}} + left. {sin x} ight|_0^{frac{pi }{2}}= 1 + 1 = 2end{array}).
b) Đặt (left{ egin{array}{l}u = ln xdv = {x^2}dxend{array} ight.) ( Rightarrow left{ egin{array}{l}du = frac{{dx}}{x}v = frac{{{x^3}}}{3}end{array} ight.)
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_1^e {{x^2}ln x} dx = left. {left( {ln x.frac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_1^e - frac{1}{3}intlimits_1^e {{x^2}dx} = left. {left( {ln x.frac{{{x^3}}}{3}} ight)} ight|_1^e - left. {frac{{{x^3}}}{9}} ight|_1^e= frac{{{e^3}}}{3} - left( {frac{{{e^3}}}{9} - frac{1}{9}} ight) = frac{{2{e^3}}}{9} + frac{1}{9} = frac{1}{9}left( {2{e^3} + 1} ight)end{array})
c) Đặt (left{ egin{array}{l}u = ln left( {1 + x} ight)dv = dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = frac{{dx}}{{1 + x}}v = xend{array} ight.)
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {ln left( {x + 1} ight)dx} = left. {left( {x.ln left( {1 + x} ight)} ight)} ight|_0^1 - intlimits_0^1 {frac{x}{{x + 1}}dx} = left. {left( {x.ln left( {1 + x} ight)} ight)} ight|_0^1 - intlimits_0^1 {frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} = left. {left( {x.ln left( {1 + x} ight)} ight)} ight|_0^1 - intlimits_0^1 {left( {1 - frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} = left. {left( {x.ln left( {1 + x} ight)} ight)} ight|_0^1 - left. {left( {x - ln left| {x + 1} ight|} ight)} ight|_0^1= ln 2 - left( {1 - ln 2} ight) = 2ln 2 - 1end{array})
d) Đặt (left{ egin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1dv = {e^{ - x}}dxend{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = left( {2x - 2} ight)dxv = - {e^{ - x}}end{array} ight.)
(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {left( {{x^2} - 2x - 1} ight){e^{ - x}}dx} = left. { - {e^{ - x}}left( {{x^2} - 2x - 1} ight)} ight|_0^1 + 2intlimits_0^1 {left( {x - 1} ight){e^{ - x}}dx} = left. { - {e^{ - x}}left( {{x^2} - 2x - 1} ight)} ight|_0^1 + 2{I_1}= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}end{array})
Đặt (left{ egin{array}{l}u = x - 1dv = {e^{ - x}}end{array} ight. Rightarrow left{ egin{array}{l}du = dxdv = - {e^{ - x}}end{array} ight.).
(egin{array}{l}Rightarrow {I_1} = left. { - {e^{ - x}}left( {x - 1} ight)} ight|_0^1 + intlimits_0^1 {{e^{ - x}}dx} = left. { - {e^{ - x}}left( {x - 1} ight)} ight|_0^1left. { - {e^{ - x}}} ight|_0^1= - 1 - left( {{e^{ - 1}} - 1} ight) =- {e^{ - 1}}end{array}).
Vậy (I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} = - 1).
soanbailop6.com
