Bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12
Giải bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau? ...
Giải bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
Đề bài
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
a) (f(x) = frac{x+sqrt{x}+1}{^{sqrt[3]{x}}}) ; b) ( f(x)=frac{2^{x}-1}{e^{x}})
c) (f(x) = frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}); d) (f(x) = sin5x.cos3x)
e) (f(x) = tan^2x) g) (f(x) = e^{3-2x})
h) (f(x) =frac{1}{(1+x)(1-2x)}) ;
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Biến đổi các biểu thức cần tính nguyên hàm về các hàm số dạng cơ bản.
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:
(egin{array}{l}
int {{x^n}dx = frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C;;;int {frac{1}{x}dx} = ln left| x
ight| + C;;;}
int {{e^x}dx = {e^x} + C;;;int {cos xdx = - sin x + C;} }
int {sin xdx = - cos x + C} ;;;int {frac{1}{{{{cos }^2}x}}dx = an x + C;}
int {frac{1}{{{{sin }^2}x}}dc = - cot x + C....}
end{array})
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện (x>0). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
(f(x) = frac{x+x^{frac{1}{2}}+1}{x^{frac{1}{3}}} = x^{1-frac{1}{3}}+ x^{frac{1}{2}-frac{1}{3}}+ x^{-frac{1}{3}} = x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}}.)
(Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{frac{2}{3}}+ x^{frac{1}{6}} + x^{-frac{1}{3}})dx = frac{3}{5}x^{frac{5}{3}}+ frac{6}{7}x^{frac{7}{6}}+frac{3}{2}x^{frac{2}{3}} +C.)
(egin{array}{l}b);;fleft( x ight) = frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {left( {frac{2}{e}} ight)^x} - {e^{ - x}}. Rightarrow Fleft( x ight) = int {fleft( x ight)dx} = int {left( {{{left( {frac{2}{e}} ight)}^x} - {e^{ - x}}} ight)} dx= frac{{{{left( {frac{2}{e}} ight)}^x}}}{{ln left( {frac{2}{e}} ight)}} + {e^{ - x}} + C = frac{{{2^x}}}{{{e^x}left( {ln 2 - 1} ight)}} + frac{1}{{{e^x}}} + C= frac{{{2^x} + ln 2 - 1}}{{{e^x}left( {ln 2 - 1} ight)}} + C.end{array})
(egin{array}{l}c);;fleft( x ight) = frac{1}{{{{sin }^2}x.{{cos }^2}x}} = frac{1}{{{{sin }^2}x}} + frac{1}{{{{cos }^2}x}}.Rightarrow Fleft( x ight) = int {fleft( x ight)dx = int {left( {frac{1}{{{{sin }^2}x}} + frac{1}{{{{cos }^2}x}}} ight)} } dx = - cot x + an x + C = frac{{sin x}}{{cos x}} - frac{{cos x}}{{sin x}} + C = frac{{{{sin }^2}x - {{cos }^2}x}}{{sin x.cos x}} + C = frac{{ - cos 2x}}{{frac{1}{2}sin 2x}} + C = - 2cot2 x + C.end{array})
d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:
(egin{array}{l}fleft( x ight) = sin 5x.cos 3x = frac{1}{2}left( {sin 8x + sin 2x} ight).Rightarrow Fleft( x ight) = int {fleft( x ight)dx} = int {frac{1}{2}left( {sin 8x + sin 2x} ight)dx} = frac{1}{2}left( { - frac{1}{8}cos 8x - frac{1}{2}cos 2x} ight) + C = - frac{1}{4}left( {frac{1}{4}cos 8x + cos 2x} ight) + C.end{array})
(egin{array}{l}e);;fleft( x ight) = { an ^2}x = frac{1}{{{{cos }^2}x}} - 1Rightarrow Fleft( x ight) = int {fleft( x ight)dx} = int {left( {frac{1}{{{{cos }^2}x}} - 1} ight)dx} = an x - x + C.end{array})
(egin{array}{l}g);;fleft( x ight) = {e^{3 - 2x}}.Rightarrow Fleft( x ight) = int {fleft( x ight)dx = } int {{e^{3 - 2x}}dx} = - frac{1}{2}int {{e^{3 - 2x}}left( {3 - 2x} ight)'dx} = - frac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.end{array})
h) Ta có : (fleft( x ight) = frac{1}{{left( {1 + x} ight)left( {1 - 2x} ight)}} = frac{1}{{3left( {x + 1} ight)}} + frac{2}{{3left( {1 - 2x} ight)}}.)
(Rightarrow int frac{dx}{(1+x)(1-2x)}=frac{1}{3}int (frac{1}{1+x}+frac{2}{1-2x})dx = frac{1}{3}(lnleft | 1+x ight |)-lnleft | 1-2x ight |)+C = frac{1}{3}lnleft | frac{1+x}{1-2x} ight | +C.).
soanbailop6.com
