Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân

Đề bài

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) (int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx)          (Đặt (u= x+1)) 

b) (int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx)       (Đặt (x = sint) )

c) (int_{0}^{1}frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx)          (Đặt (u = 1 + x.{e^x}))

d)(int_{0}^{frac{a}{2}}frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx)         (Đặt (x= asint))

Lời giải chi tiết

a) Đặt (u= x+1 Rightarrow  du =  dx) và (x = u - 1).

Đổi cận: (left{ egin{array}{l}x = 0 Rightarrow u = 1x = 3 Rightarrow u = 4end{array} ight.)

(egin{array}{l}intlimits_0^3 {frac{{{x^2}}}{{{{left( {1 + x} ight)}^{frac{3}{2}}}}}dx} = intlimits_1^4 {frac{{{{left( {u - 1} ight)}^2}}}{{{u^{frac{3}{2}}}}}du} = intlimits_1^4 {frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{frac{3}{2}}}}}du} = intlimits_1^4 {left( {{u^{frac{1}{2}}} - 2{u^{ - frac{1}{2}}} + {u^{ - frac{3}{2}}}} ight)du} = left. {left( {frac{2}{3}{u^{frac{3}{2}}} - 4{u^{frac{1}{2}}} - 2{u^{ - frac{1}{2}}}} ight)} ight|_1^4= - frac{{11}}{3} - left( { - frac{{16}}{3}} ight) = frac{5}{3}end{array})

b) Đặt (x = sint), (0<t<frac{pi}{2}). Ta có: (dx = costdt)

và (sqrt{1-x^{2}}=sqrt{1-sin^{2}t}= sqrt{cos^{2}t}=left | cost ight |= cos t.)

Đổi cận: (left{ egin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{2}end{array} ight.)

(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {sqrt {1 - {x^2}} dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {1 - {{sin }^2}t} cos tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^2}tdt} = frac{1}{2}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + cos 2t} ight)dt} = frac{1}{2}left. {left( {t + frac{{sin 2t}}{2}} ight)} ight|_0^{frac{pi }{2}}= frac{1}{2}.frac{pi }{2} = frac{pi }{4}end{array})

c) Đặt: (t = 1 + x.{e^x} Rightarrow dt = left( {{e^x} + x.{e^x}} ight)dx = {e^x}left( {1 + x} ight)dx).

Đổi cận: (left{ egin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1x = 1 Rightarrow t = 1 + eend{array} ight.)

(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{{e^x}left( {1 + x} ight)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = intlimits_1^{1 + e} {frac{{dt}}{t}} = left. {ln left| t ight|} ight|_1^{1 + e}= ln left( {1 + e} ight) - ln 1 = ln left( {1 + e} ight)end{array})

d) Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)

Đổi cận: (left{ egin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = frac{a}{2} Rightarrow t = frac{pi }{6}end{array} ight.)

(egin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^{frac{a}{2}} {frac{1}{{sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{sqrt {{a^2} - {a^2}{{sin }^2}t} }}} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{a.cos t}}} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt} = left. t ight|_0^{frac{pi }{6}} = frac{pi }{6}end{array}).

soanbailop6.com