Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12
Giải bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính: ...
Giải bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
Đề bài
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a) (∫{(1-x)}^9dx) (đặt (u =1-x) ) ;
b) (∫x{(1 + {x^2})^{{3 over 2}}}dx) (đặt (u = 1 + x^2) )
c) (∫cos^3xsinxdx) (đặt (t = cosx))
d) (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}) (đặt (u= e^x+1))
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Đặt (u = uleft( x ight) Rightarrow du = u'left( x ight)dx.)
+) Khi đó: ( Rightarrow I = int {fleft( x ight)dx} = int {gleft( u ight)du.} )
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn (u).
+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn (x).
Lời giải chi tiết
a) Cách 1: Đặt (u = 1 - x Rightarrow du= -dx). Khi đó ta được (-int u^{9}du = -frac{1}{10}u^{10}+C)
Suy ra (int(1-x)^{9}dx=-frac{(1-x)^{10}}{10}+C)
Cách 2: (smallint {left( {1 - x} ight)^9}dx = - smallint {left( {1 - x} ight)^{9}}dleft( {1 - x} ight)=) (-frac{(1-x)^{10}}{10} +C)
(b);;int {x{{left( {1 + {x^2}}
ight)}^{frac{3}{2}}}dx} .)
Cách 1: Đặt (u = 1 + {x^2} Rightarrow du = 2xdx Rightarrow xdx = frac{1}{2}du.)
( Rightarrow int {frac{1}{2}{u^{frac{3}{2}}}du =frac{1}{2}.frac{{{u^{frac{3}{2} + 1}}}}{{frac{3}{2} + 1}} + C = frac{{{u^{frac{5}{2}}}}}{5} + C =frac{{{{left( {1 + {x^2}}
ight)}^{frac{5}{2}}}}}{5}} +C.)
Cách 2: (int x(1+x^{2})^{frac{3}{2}}dx= frac{1}{2}int (1+x^{2})^{frac{3}{2}}d(1+x^2{}) = frac{1}{2}.frac{2}{5}(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C = frac{1}{5}.(1+x^{2})^{frac{5}{2}}+C)
(c);;{cos ^3}x.sin xdx.)
Cách 1: Đặt: (t = {mathop{ m cosx} olimits} Rightarrow du = - sinxdx.)
(egin{array}{l} Rightarrow int {{{cos }^3}x.{mathop{ m sinxdx} olimits} } = int { - {u^3}du} = - frac{1}{4}{u^4} + C = - frac{1}{4}{cos ^4}x + C.end{array})
Cách 2: (∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)= -frac{1}{4}.cos^{4}x + C.)
(d);;int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}.} )
Cách 1:
Ta có: ({e^x} + {e^{ - x}} + 2 = {e^x} + frac{1}{{{e^x}}} + 2 = frac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = frac{{{{left( {{e^x} + 1} ight)}^2}}}{{{e^x}}}.)
( Rightarrow frac{1}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = frac{{{e^x}}}{{{{left( {{e^x} + 1} ight)}^2}}}.)
Đặt (u = {e^x} + 1 Rightarrow du = {e^x}dx.)
( Rightarrow int {frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = int {frac{1}{{{u^2}}}du} = - frac{1}{u} + C} = - frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.)
Cách 2: (int frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} = int frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx = int frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=frac{-1}{e^{x}+1} + C.)
soanbailop6.com
