Bài 1.57 trang 46 SBT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như...

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

(overrightarrow {MB}  = 3overrightarrow {MC} ,overrightarrow {NC}  = 3overrightarrow {NA} ,overrightarrow {PA}  = 3overrightarrow {PB} )

a) Chứng minh (2overrightarrow {OM}  = 3overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OB} ) với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.69)

a) $(3overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OB}  = 3(overrightarrow {OM}  + overrightarrow {MC} ) – (overrightarrow {OM}  + overrightarrow {MB} ))

(= 3(overrightarrow {OM}  – overrightarrow {OM} ) + (3overrightarrow {MC}  – overrightarrow {MB} ) = 2overrightarrow {OM} )

b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.

(overrightarrow {MB}  = 3overrightarrow {MC}  =  > overrightarrow {CM}  = overrightarrow {SC} )

(overrightarrow {NC}  = 3overrightarrow {NA}  =  > overrightarrow {AN}  = overrightarrow {CQ} )

(overrightarrow {PA}  = 3overrightarrow {PB}  =  > overrightarrow {BP}  = overrightarrow {RB}  = overrightarrow {QS} )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {BG}  + overrightarrow {GC}  = overrightarrow 0)

Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {GM} + overrightarrow {GN} + overrightarrow {GP} cr
& = overrightarrow {GC} + overrightarrow {CM} + overrightarrow {GA} + overrightarrow {AN} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {BP} cr} )

(overrightarrow { = (GA}  + overrightarrow {GC}  + overrightarrow {GC} ) + (overrightarrow {SC}  + overrightarrow {CQ}  + overrightarrow {QS} ))

( = overrightarrow 0  + overrightarrow 0 )

Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.