Bài 1.12 trang 15 SBT Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = {{x + 1} over {{x^2} + 8}})                                                                  

b) (y = {{{x^2} – 2x + 3} over {x – 1}})

c) (y = {{{x^2} + x – 5} over {x + 1}})                                                            

d) (y = {{{{(x – 4)}^2}} over {{x^2} – 2x + 5}})

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ : R

(y’ = {{{x^2} + 8 – 2x(x + 1)} over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ – {x^2} – 2x + 8} over {{{({x^2} + 8)}^2}}})

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 4 hfill cr
x = 2 hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = – 4 và ({y_{CD}} = y(2) = {1 over 4};{y_{CT}} = y( – 4) =  – {1 over 8})

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x  ≠ 1.

(y’ = {{{x^2} – 2x – 1} over {{{(x – 1)}^2}}})

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 – sqrt 2 hfill cr
x = 1 + sqrt 2 hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x = 1 – sqrt 2 ) và đạt cực tiểu tại (x = 1 + sqrt 2) , ta có:

   ({y_{CD}} = y(1 – sqrt 2 ) =  – 2sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + sqrt 2 ) = 2sqrt 2 )           

c) TXĐ: R{-1}

(y’ = {{{x^2} + 2x + 6} over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,forall x e  – 1)  

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và do đó không có cực trị.

d) (y = {{{{(x – 4)}^2}} over {{x^2} – 2x + 5}})

Vì x² – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên (( – infty ; + infty ))

(y’ = {{2(x – 4)({x^2} – 2x + 5) – {{(x – 4)}^2}(2x – 2)} over {{{({x^2} – 2x + 5)}^2}}} = {{2(x – 4)(3x + 1)} over {{{({x^2} – 2x + 5)}^2}}})

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – {1 over 3} hfill cr
x = 4 hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x =  – {1 over 3}) , đạt cực tiểu tại x = 4 và ({y_{CD}} = y( – {1 over 3}) = {{13} over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0)