Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12: Chứng minh phương trình sau có nghiệm duy nhất...

Chứng minh phương trình ({x^5} – {x^2} – 2x – 1 = 0) có nghiệm duy nhất

(Đề thi đại học năm 2004)

Hướng dẫn làm bài:

Trước hết cần tìm điều kiện của nghiệm phương trình (tức là xem nghiệm phương trình, nếu có, phải nằm trong khoảng nào). Ta nhận xét

                        x⁵ – x² – 2x – 1 = 0 ⇔  x⁵ = (x + 1)²  0   => x ≥ 0

=>  (x + 1)²  1  => x⁵  1   => x  1

Vậy, nếu có, nghiệm của phương trình phải thuộc ({ m{[}}1; + infty { m{]}}) .

Xét hàm số  (f(x) = {x^5} – {x^2} – 2x – 1)  ta thấy f(x) liên tục trên R

Mặt khác, (f(1) =  – 3 < 0,f(2) = 23 > 0)

Vì f(x) liên tục trên [1; 2] và f(1) f(2) < 0 nên tồn tại ({x_0} in (1;2)) sao cho (f({x_0}) = 0)

Ta có: f’(x) = 5x⁴ – 2x – 2 = (2x⁴ – 2x) + (2x⁴ – 2) + x⁴

                     = 2x(x³ – 1) + 2(x⁴ – 1) + x⁴ > 0 , (forall x ge 1)

Suy ra f(x) đồng biến trên ({ m{[}}1; + infty { m{]}})