Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực...

Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:

a) (y = {x^3} – 3{x^2} + mx – 5)

b) (y = {x^3} + 2m{x^2} + mx – 1)

c) (y = {{{x^2} – 2mx + 5} over {x – m}})

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ:  D = R

  (y’ = 3{x^2} – 6x + m)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x² – 6x + m  có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0  ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.

Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.

b) TXĐ: D = R

y’ = 3x² + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔  3x² + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 4m² -3m > 0   ó m(4m – 3) > 0

( Leftrightarrow left[ matrix{
m < 0 hfill cr
m > {3 over 4} hfill cr} ight.)

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc (m > {3 over 4}) .

c) TXĐ:  D = R{m}

(y’ = {{{x^2} – 2mx + 2{m^2} – 5} over {{{(x – m)}^2}}}) 

 Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x² – 2mx + 2m² – 5  có hai nghiệm phân biệt.

⇔  ∆’ = – m² + 5 > 0 ⇔  ( – sqrt 5  < m < sqrt 5 )