Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y =  – 2{x^2} + 7x – 5)                                                   

b) (y = {x^3} – 3{x^2} – 24x + 7)

c) (y = {x^4} – 5{x^2} + 4)                                                     

d) (y = {(x + 1)^3}(5 – x))

e) (y = {(x + 2)^2}{(x – 3)^3})

Hướng dẫn làm bài:

a)  (y =  – 2{x^2} + 7x – 5)   . TXĐ: R

(eqalign{
& y’ = – 4x + 7,y’ = 0 < = > x = {7 over 4} cr
& y” = – 4 = > y”({7 over 4}) = – 4 < 0 cr} )    

Vậy (x = {7 over 4}) là điểm cực đại của hàm số và ({y_{CD}} = {9 over 8})

b) (y = {x^3} – 3{x^2} – 24x + 7) . TXĐ: R

(y’ = 3{x^2} – 6x – 24 = 3({x^2} – 2x – 8))

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 2 hfill cr
x = 4 hfill cr} ight.)

Vì (y”( – 2) =  – 18 < 0,y”(4) = 18 > 0) nên hàm số đạt cực đại tại x = – 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và   y_CĐ = y(-2) = 35 ; y_CT = y(4) = -73.

c) (y = {x^4} – 5{x^2} + 4) 

 TXĐ:  R

(eqalign{
& = {{2{x^2} – 2{m^2} – {x^2} – 2mx + 3} over {{{(x – m)}^2}}} = {{{x^2} – 2mx – 2{m^2} + 3} over {{{(x – m)}^2}}} cr
& y’ = 4{x^3} – 10x = 2x(2{x^2} – 5) cr} )

$$y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = – sqrt {{5 over 2}} hfill cr
x = sqrt {{5 over 2}} hfill cr} ight.$$

Vì (y”( pm sqrt {{5 over 2}} ) = 20 > 0,y”(0) =  – 10 < 0)

Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại (x =  pm sqrt {{5 over 2}} ) và ta có:

                             y_CĐ = y(0)  = 4 , ({y_{_{CT}}} = y( pm sqrt {{5 over 2}} ) =  – {9 over 4})

d)  TXĐ:  R

(y’ =  – {(x + 1)^3} + 3{(x + 1)^2}(5 – x) = 2{(x + 1)^2}(7 – 2x))

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = {7 over 2} hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại (x = {7 over 2};{y_{CD}} = y({7 over 2}) = {{2187} over {16}})

e)  TXĐ: R

(y’ = 2(x + 2){(x – 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x – 3)^2} = 5x(x + 2){(x – 3)^2})

(y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 2 hfill cr
x = 0 hfill cr
x = 3 hfill cr} ight.) 

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra y_CĐ = y(-2) = 0 ; y_CT = y(0) = -108.