Bài 1.14 trang 15 SBT Giải tích 12: Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = sin 2x)                                                             

b) (y = cos x – sin x)

c) (y = {sin ^2}x)

Hướng dẫn làm bài:

a) (y = sin 2x)               

Hàm số có chu kỳ (T = pi )

Xét hàm số (y = sin 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;pi { m{]}}) , ta có:

(y’ = 2cos 2x)

(y = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 4} hfill cr
x = {{3pi } over 4} hfill cr} ight.)

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn ({ m{[}}0;pi { m{]}}) , hàm số đạt cực đại  tại ({pi  over 4}) , đạt cực tiểu tại ({{3pi } over 4}) và ({y_{CD}} = y({pi  over 4}) = 1;,,{y_{CT}} = y({{3pi } over 4}) =  – 1)       

Vậy trên R ta có:

({y_{CĐ}} = y({pi  over 4} + kpi ) = 1;)

({y_{CT}} = y({{3pi } over 4} + kpi ) =  – 1,k in Z)          

b)

Hàm số tuần hoàn chu kỳ  nên ta xét trên đoạn ({ m{[}} – pi ;pi { m{]}}).

(eqalign{
& y’ = – sin x – cos x cr
& y’ = 0 < => an x = – 1 < = > x = – {pi over 4} + kpi ,k in Z cr} )

 Lập bảng biến thiên trên đoạn ({ m{[}} – pi ;pi { m{]}})

Hàm số đạt cực đại tại (x =  – {pi  over 4} + k2pi ) , đạt cực tiểu tại (x = {{3pi } over 4} + k2pi (k in Z)) và

 ({y_{CĐ}} = y( – {pi  over 4} + k2pi ) = sqrt 2) ;

({y_{CT}} = y({{3pi } over 4} + k2pi ) =  – sqrt 2 (k in Z))       

c) Ta có: (y = {sin ^2}x = {{1 – cos 2x} over 2})

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ (pi ). Ta xét hàm số (y = {1 over 2} – {1 over 2}cos 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;pi { m{]}}) .

(eqalign{
& y’ = sin 2x cr
& y’ = 0 < = > sin 2x = 0 < = > x = k.{pi over 2}(k in Z) cr} ) 

Lập bảng biến thiên trên đoạn (left[ {0,pi } ight])

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại (x = k.{pi  over 2}) với k chẵn, đạt cực đại tại (x = k.{pi  over 2}) với k lẻ, và  

({y_{CT}} = y(2mpi ) = 0;)

({y_{CĐ}} = y((2m + 1){pi  over 2}) = 1(m in Z))