Bài 1.20 trang 19 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số...

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8  trên đoạn [0; 1]

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7  trên đoạn [-4; 3]

c) (f(x) = sqrt {25 – {x^2}} ) trên đoạn [-4; 4]

d)  f(x) = |x² – 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}{ m{]}})

g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;{{3pi } over 2}{ m{]}})

Hướng dẫn làm bài:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]

(eqalign{
& f'(x) = – 6x + 4,f'(x) = 0 < = > x = {2 over 3} cr
& f({2 over 3}) = – {{20} over 3},f(0) = – 8;f(1) = – 7 cr} )

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}}0;1]} f(x) =  – 8;mathop {max }limits_{{ m{[}}0;1]} f(x) =  – {{20} over 3})

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]

(f'(x) = 3{x^2} + 6x – 9)

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 3 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và f_CĐ = f(-3) = 20;  f_CT = f(1) = -12 ;

f(-4) = 13 ; f(3) = 20.

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}} – 4;3]} f(x) =  – 12;mathop {max }limits_{{ m{[}} – 4;3]} f(x) = 20)

c) (f(x) = sqrt {25 – {x^2}} )  trên đoạn  [-4; 4]

(f'(x) = {{ – x} over {sqrt {25 – {x^2}} }};f'(x) > 0) trên khoảng (-4; 0) và

      f’(x) < 0  trên khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0  và f_CĐ = 5

Mặt khác, ta có  f(-4) = f(4) = 3

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}} – 4;4]} f(x) = 3;mathop {max }limits_{{ m{[}} – 4;4]} f(x) = 5)

d) (f(x) = |{x^2} – 3x + 2|) trên đoạn [-10; 10]

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  g(x) = x² – 3x + 2.

Ta có: 

 (g'(x) = 2x – 3;g'(x) = 0 <  =  > x = {3 over 2})          

Bảng biến thiên:

Vì

(f(x) = left{ matrix{
g(x),{x^2} – 3x + 2 ge 0 hfill cr
– g(x),{x^2} – 3x + 2 < 0 hfill cr} ight.)

 nên ta có đồ thị f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra: (mathop {min }limits_{{ m{[}} – 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;mathop {max }limits_{{ m{[}} – 10;10]} f(x) = f( – 10) = 132)

e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}{ m{]}})

(f'(x) =  – {{cos x} over {{{sin }^2}x}},f'(x) < 0) nên  và f’(x) > 0  trên (({pi  over 2};{{5pi } over 6}{ m{]}}) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = {pi  over 2}) và ({f_{CT}} = f({pi  over 2}) = 1)

Mặt khác, (f({pi  over 3}) = {2 over {sqrt 3 }},f({{5pi } over 6}) = 2)

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 1;mathop {max }limits_{{ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 2)

g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;{{3pi } over 2}{ m{]}})

(f'(x) = 2cos x + 2cos 2x = 4cos {x over 2}cos {{3x} over 2})

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
cos {x over 2} = 0 hfill cr
cos {{3x} over 2} = 0 hfill cr} ight. Rightarrow left[ matrix{
x = pi hfill cr
x = {pi over 3} hfill cr} ight.)

Ta có: (f(0) = 0,f({pi  over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2},f(pi ) = 0,f({{3pi } over 2}) =  – 2)

Từ đó ta có :  (mathop {min }limits_{{ m{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) =  – 2;mathop {max }limits_{{ m{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) = {{3sqrt 3 } over 2}).