Bài 5 trang 105 sgk hình học 11: Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng....

Bài 5. Trên mặt phẳng ((α)) cho hình bình hành (ABCD). Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD). (S) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ((α)) sao cho (SA = SC, SB = SD). Chứng minh rằng:

a) (SO ⊥ (α));

b) Nếu trong mặt phẳng ((SAB)) kẻ (SH) vuông góc với (AB) tại (H) thì (AB) vuông góc mặt phẳng ((SOH)).

Giải

(H.3.33)

a) (SA = SC) nên tam giác (SAC) cân tại (S).

(O) là trung điểm của (AC) nên (SO) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân nên (SOot AC)

Chứng minh tương tự ta có: (SOot BD)

Ta có: 

$$left. matrix{
SO ot BD hfill cr
SO ot AC hfill cr
BD cap AC = { m{{ O} }} hfill cr} ight} Rightarrow SO ot (ABCD)$$

Hay (SO ⊥ mp(α)).

b) (SO ⊥ (ABCD) Rightarrow SO ⊥ AB)   (1)

Mà (SH ⊥ AB)                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( AB ⊥ (SOH)).