Bài 3 trang 119 sgk Hình học 11: Bài 5. Khoảng cách...

Bài 3. Cho hình lập phương (ABCD.A’B’C’D’) cạnh (a). Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm (B, C, D, A’, B’, D’) đến đường chéo (AC’) đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Giải

(H.3.64) 

Gọi (K) là hình chiếu của (B) trên (AC’). 

Xét tam giác (ABC’) vuông tại (B), ta có: 

(frac{1}{BK^{2}}=frac{1}{BA^{2}}+frac{1}{BC^{2}}=frac{1}{a^{2}}+frac{1}{(asqrt{2})^{2}}=frac{3}{2a^{2}})

(Rightarrow BK=frac{asqrt{6}}{3}.) 

Ta có:

(Delta ABC’ = Delta C’CA = Delta ADC’ = Delta AA’C’ = Delta C’B’A = Delta C’D’A(c.g.c))

Do đó khoảng cách từ (B, C, D, A’, B’, D’) tới (AC’) đều bằng ( frac{asqrt{6}}{3}) vì chúng đều là chiều cao của các tam giác vuông bằng nhau.