Bài 2 trang 121 sgk đại số 11: Bài 1. Giới hạn của dãy số...

Bài 2. Biết dãy số ((u_n)) thỏa mãn (|u_n-1| < frac{1}{n^{3}}) với mọi (n). Chứng minh rằng (lim u_n=1).

Giải:

Vì (lim frac{1}{n^{3}}) = 0 nên |(frac{1}{n^{3}})| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Mặt khác, ta có (|u_n-1| < frac{1}{n^{3}}) = |(frac{1}{n^{3}})| với mọi (n). Nếu (|u_n-1|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là (lim (u_n-1) = 0). Do đó (lim u_n= 1).