Giải Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Giải Toán lớp 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?

a) HB = HC;

b) HB > HC;

c) HB < HC.

Lời giải

Kết luận b) đúng.

Vì AB < AC (gt) và AH ⊥ BC mà AB, AC là hai đường xiên có hình chiếu tương ứng là HB và HC nên HB > HC.

Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C,…(hình 12).

Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Lời giải

Theo hình vẽ, các điểm A, B, C, D nằm trên một đường thẳng và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuống góc kẻ từ M đến đường thẳng. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, C và D.

Ta có AB, AC và AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC và MD xuống đường thẳng. Ta có ngay AD > AC > AB. Suy ra:

MD > MC > MB > MA

Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước, tức là bạn Nam tập đúng mục đích đề ra.

Bài 10 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.

Lời giải

Xét tam giác ABC cân tại A. Gọi D là điểm bất kì của cạnh đáy BC. Kẻ đường cao AH. Ta có:

– Nếu D ≡ B hoặc C thì AD = AB = AC

– Nếu D ≡ H thì AD < AB (hoặc AC)

– Nếu D không trùng B, C, và H, giả sử D nằm giữa D và H thì trong tam giác ABH có BH và DH lần lượt là hình chiếu của AB và AD.

Vì HD < HB nên AD < AB

Vậy (từ 3 ý trên), trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài cạnh bên.

Bài 11 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Một cách chứng minh khác của định lí 2:

Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:

Nếu BC < BD thì AC < AD

Hướng dẫn:

a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?

b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?

Lời giải

Bài 12 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.

Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.

Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?

Lời giải

Như trong bài, độ dài đoạn thẳng AB (đoạn vuông góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.

Vì tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song nên để đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ vì đó chính là chiều rộng của tấm gỗ.

Đặt thước như hình 15 là không đúng vì thước không vuông góc với hai cạnh của tấm gỗ.

Bài 13 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 16. Hãy chứng minh rằng:

a) BE < BC;

b) DE < BC.

Lời giải

a) Cách 1: Ta có AE, AC lần lượt là hình chiếu của hai đường xiên BE, BC lên đường thẳng AC.

Vì AE < AC => BE < BC (1)

Cách 2: Góc BEC là góc ngoài của tam giác vuông ABE nên góc BEC là góc tù (vì góc AEB chắc chắn là góc nhọn).

Do đó, trong tam giác BEC có BE < BC (vì BE là cạnh đối diện với góc tù – góc lớn hơn.)

b) Ta cũng có AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB lên đường thẳng AB.

Vì AD < AB => ED < EB (2)

Từ (1) và (2) ta có: DE < BC (đpcm).

Bài 14 (trang 60 SGK Toán 7 tập 2): Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6 cm.

Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?

Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?

Lời giải

ΔPQR có PQ = PR = 5cm nên ΔPQR cân. Từ P kẻ đường thẳng PH ⊥ QR.

Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng QR, ta có:

MH, QH, RH lần lượt là hình chiếu của PM, PQ, PR lên QR

Vì PM = 4,5cm < PQ (hoặc PR) nên hình chiếu MH < QH, RH

– Trên đoạn thẳng QH có MH < QH nên M nằm giữa hai điểm Q và H.

– Tương tự trên RH có MH < RH nên M nằm giữa hai điểm R và H.

Do vậy: có hai điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài và điểm M này có nằm trên cạnh QR.

(Lưu ý: Một số cuốn sách giải hoặc trang web khác sử dụng khái niệm đường cao và đường trung tuyến với PH rồi dựa vào đó để giải là hoàn toàn không hợp lý. Bởi vì chương trình Toán hình 7 của các bạn chưa học tới phần kiến thức đó.)