Giải bài 43, 44, 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x thỏa mãn điều kiện

a) (sqrt {{{2x - 3} over {x - 1}}}  = 2)

b) ({{sqrt {2x - 3} } over {sqrt {x - 1} }} = 2)

c) (sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}}  = 3)

d) ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3.)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(sqrt {{{2x - 3} over {x - 1}}} )  xác định khi và chỉ khi  ({{2x - 3} over {x - 1}} ge 0)

Trường hợp 1:  

(eqalign{
& left{ matrix{
2x - 3 ge 0 hfill cr 
x - 1 > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge 3 hfill cr 
x > 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 1,5 hfill cr 
x > 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x ge 1,5 cr} )

Trường hợp 2: 

(eqalign{
& left{ matrix{
2x - 3 le 0 hfill cr 
x - 1 < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2x le 3 hfill cr 
x < 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1,5 hfill cr 
x < 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x < 1 cr} )

Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{2x - 3} over {x - 1}}} = 2 Leftrightarrow {{2x - 3} over {x - 1}} = 4 cr 
& Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 cr 
& Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = 0,5 cr} )

Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.

b) Ta có: ({{sqrt {2x - 3} } over {sqrt {x - 1} }}) xác định khi và chỉ khi:

(eqalign{
& left{ matrix{
2x - 3 ge 0 hfill cr 
x - 1 > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge 3 hfill cr 
x > 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 1,5 hfill cr 
x > 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x ge 1,5 cr} )

Với x ≥ 1,5 ta có: 

(eqalign{
& {{sqrt {2x - 3} } over {sqrt {x - 1} }} = 2 Leftrightarrow {{2x - 3} over {x - 1}} = 4 cr 
& Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 cr 
& Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = 0,5 cr} )

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để  ({{sqrt {2x - 3} } over {sqrt {x - 1} }} = 2)

c) Ta có: (sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}} ) xác định khi và chỉ khi ({{4x + 3} over {x + 1}} ge 0)

Trường hợp 1:  

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 ge 0 hfill cr 
x + 1 > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
4x ge - 3 hfill cr 
x > - 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge - 0,75 hfill cr 
x > - 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x ge - 0,75 cr} )

Trường hợp 2:  

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 le 0 hfill cr 
x + 1 < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
4x le - 3 hfill cr 
x < - 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge - 0,75 hfill cr 
x < - 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x < - 1 cr} )

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}} = 3 Leftrightarrow {{4x + 3} over {x + 1}} = 9 cr 
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 cr 
& Leftrightarrow 5x = - 6 Leftrightarrow x = - 1,2 cr} )

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

d) Ta có : ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }}) xác định khi và chỉ khi:

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 ge 0 hfill cr 
x + 1 > 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
4x ge - 3 hfill cr 
x > - 1 hfill cr} ight. cr 
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge - 0,75 hfill cr 
x > - 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow x ge - 0,75 cr} )

Với x ≥ -0,75 ta có: 

(eqalign{
& {{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3 Leftrightarrow {{4x + 3} over {x + 1}} = 9 cr 
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 cr 
& Leftrightarrow 5x = - 6 Leftrightarrow x = - 1,2 cr} )

Vậy không có giá trị nào của x để ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3.)

Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

({{a + b} over 2} ge sqrt {ab} )

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm). 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên (sqrt a ) xác định, b ≥ 0 nên (sqrt b ) xác định

Ta có: 

(eqalign{
& {left( {sqrt a - sqrt b } ight)^2} ge 0 cr 
& Leftrightarrow a - 2sqrt {ab} + b ge 0 cr} )

( Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab}  Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} )

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

(sqrt {{{a + b} over 2}}  ge {{sqrt a  + sqrt b } over 2})

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên (sqrt a ) xác định, b ≥ 0 nên (sqrt b ) xác định

Ta có: 

(eqalign{
& {left( {sqrt a - sqrt b } ight)^2} ge 0 cr 
& Leftrightarrow a - 2sqrt {ab} + b ge 0 ge a + b ge 2sqrt {ab} cr} )

( Leftrightarrow a + b + a + b ge a + b + 2sqrt {ab} )

( Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a } ight)^2} + 2sqrt {ab}  + {left( {sqrt b } ight)^2})

(eqalign{
& Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a + sqrt b } ight)^2} cr 
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2}} over 4} cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge sqrt {{{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2}} over 4}} cr 
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge {{sqrt a + sqrt b } over 2} cr} )

Zaidap.com