Giải bài 20 trang 196 SGK Giải Tích 12 nâng cao

Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Bài 20 (trang 196 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Hỏi công thức Viet về Phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biế tổng của chúng bằng 4 – I và tích của chúng bằng 5(1 – i).

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z²+Bx+C=0 (B, C là hai số phức nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

a) Định lí Viet vẫn đúng cho Phương trình bậc hai với hệ số phức,

Giả sử Phương trình: Az²+Bz+C=0 (A ≠ 0;A,B,C ∈C) có hai nghiệm:

với α là một căn bậc hai của biệt số Δ=B²-4AC

b) Theo định lí Viet thì hai số phức có nghiệm của Phương trình:

z²-(4-i)z+5(1-i)=0 (*)

Ta có Δ=(4-i)²-20(1-i)=-5+12i

Δ là một căn bậc hai là α=2+3i, nên (*) có hai nghiệm là:

Vậy hai số cần tìm là: 3+i;1-2i

c) Giả sử phương trình: z²+Bz+C=0 nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thức sau đây: z₁=a+bi;z₂=a-bi với b ≠ 0;a.b ∈R

Vì z₁;z₂ là nghiệm Phương trình: z²+Bz+C=0 nên ta có:

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

2a²+2aB+2C=0 <=> a²+aB+C=0 => c=-(a²+aB)

Thay vào (1) ta được:

(1) <=> a²-b²+2abi+B(a+bi)-(a²+aB)=0

<=> -b²+2abi+bBi=0 (vì b ≠ 0)

Vì b ≠ 0 nên B = -2a – bi không thể là một số thực, vật khẳng định: B và C là hai số thực là sai.

- Điều ngược lại. nếu B, C là hai số thực thì Phương trình z²+Bz+C=0 nhận hai nghiệm số phức liên hợp là sai, chẳng hạn Phương trình z²+2z-3=0 có nghiệm là z = 1; z =-3

Các bài giải bài tập Giải Tích 12 nâng cao Bài 2 Chương 4