Giải bài 103, 104, 105 trang 22, 23 Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 103 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

(x - sqrt x  + 1 = {left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4}) với x > 0

Từ đó, cho biết biểu thức ({1 over {x - sqrt x  + 1}}) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?

Gợi ý làm bài:

Ta có: ({left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} = x - sqrt x  + {1 over 4} + {3 over 4} = x - sqrt x  + 1)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: ({1 over {x - sqrt x  + 1}} = {1 over {{{left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)}^2} + {3 over 4}}}) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ({left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4})  bé nhất.

Vì ({left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} ge 0) nên ({left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} ge {3 over 4})

Ta có ({left( {sqrt x  - {1 over 2}} ight)^2} + {3 over 4} ge {3 over 4}) bé nhất bằng ({3 over 4})

Khi đó: ({1 over {x - sqrt x  + 1}} = {1 over {{3 over 4}}} = {4 over 3} Rightarrow sqrt x  - {1 over 2} = 0 Rightarrow x = {1 over 4})

Vậy ({1 over {x - sqrt x  + 1}}) có giá trị lớn nhất bằng ({4 over 3}) khi (x = {1 over 4}).

Câu 104 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm số x nguyên để biểu thức ({{sqrt x  + 1} over {sqrt x  - 3}}) nhận giá trị nguyên.

Gợi ý làm bài:

Ta có:

(eqalign{
& {{sqrt x + 1} over {sqrt x - 3}} = {{sqrt x - 3 + 4} over {sqrt x - 3}} cr 
& = 1 + {4 over {sqrt x - 3}} cr})                   

Để (1 + {4 over {sqrt x  - 3}}) nhận giá trị nguyên thì ({4 over {sqrt x  - 3}}) phải có giá trị nguyên.

Vì x nguyên nên (sqrt x ) là số nguyên hoặc số vô tỉ.

*Nếu (sqrt x ) là số vô tỉ thì (sqrt x  - 3) là số vô tỉ nên ({4 over {sqrt x  - 3}}) không có giá trị nguyên.

Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.

*Nếu (sqrt x ) là số nguyên thì (sqrt x  - 3) là số nguyên. Vậy để ({4 over {sqrt x  - 3}}) nguyên thì (sqrt x  - 3) phải là ước của 4.

Đồng thời (x ge 0) suy ra: (sqrt x  ge 0)

Ta có: Ư(4) = ({ m{{ }} - 4; - 2; - 1;1;2;4{ m{} }})

Suy ra: (sqrt x  - 3 =  - 4 Rightarrow sqrt x  =  - 1) (loại)

(eqalign{
& sqrt x - 3 = - 2 Rightarrow sqrt x = 1 Rightarrow x = 1 cr 
& sqrt x - 3 = - 1 Rightarrow sqrt x = 2 Rightarrow x = 4 cr 
& sqrt x - 3 = - 1 Rightarrow sqrt x = 4 Rightarrow x = 16 cr 
& sqrt x - 3 = 1 Rightarrow sqrt x = 4 Rightarrow x = 16 cr 
& sqrt x - 3 = 2 Rightarrow sqrt x = 5 Rightarrow x = 25 cr 
& sqrt x - 3 = 4 Rightarrow sqrt x = 7 Rightarrow x = 49 cr} ) 

Vậy với (x in { m{{ }}1;4;16;25;49} ) thì biểu thức ({{sqrt x  + 1} over {sqrt x  - 3}}) nhận giá trị nguyên

Câu 105 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )

a) ({{sqrt a  + sqrt b } over {2sqrt a  - 2sqrt b }} - {{sqrt a  - sqrt b } over {2sqrt a  + 2sqrt b }} - {{2b} over {b - a}} = {{2sqrt b } over {sqrt a  - sqrt b }});

b) (left( {{{asqrt a  + bsqrt b } over {sqrt a  + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left( {{{sqrt a  + sqrt b } over {a - b}}} ight)^2} = 1.)

Gợi ý làm bài:

a) Ta có:

(eqalign{
& {{sqrt a + sqrt b } over {2sqrt a - 2sqrt b }} - {{sqrt a - sqrt b } over {2sqrt a + 2sqrt b }} - {{2b} over {b - a}} cr 
& = {{sqrt a + sqrt b } over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)}} - {{sqrt a - sqrt b } over {2left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} - {{2b} over {b - a}} cr 
& = {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2} - {{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} + {{2b} over {left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr 
& = {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2} - {{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2} + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr 
& = {{a + 2sqrt {ab} + b - a + 2sqrt {ab} - b + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr 
& = {{4sqrt {ab} + 4b} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr 
& = {{4sqrt b left( {sqrt a + sqrt b } ight)} over {2left( {sqrt a - sqrt b } ight)left( {sqrt a + sqrt b } ight)}} cr 
& = {{2sqrt b } over {sqrt a - sqrt b }} cr} )

  (với a, b không âm và a ≠b )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Ta có:

(eqalign{
& left( {{{asqrt a + bsqrt b } over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left( {{{sqrt a + sqrt b } over {a - b}}} ight)^2} cr 
& = left( {{{sqrt {{a^3}} + sqrt {{b^3}} } over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight){left[ {{{sqrt a + sqrt b } over {left( {sqrt a + sqrt b } ight)left( {sqrt a - sqrt b } ight)}}} ight]^2} cr 
& = left[ {{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)left( {sqrt {{a^2}} - sqrt {ab} + sqrt {{b^2}} } ight)} over {sqrt a + sqrt b }} - sqrt {ab} } ight]{left( {{1 over {sqrt a - sqrt b }}} ight)^2} cr 
& = left( {sqrt {{a^2}} - sqrt {ab} + sqrt {{b^2}} - sqrt {ab} } ight){1 over {{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}}} cr 
& = {{{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}} over {{{left( {sqrt a - sqrt b } ight)}^2}}} = 1 cr} ) 

 (với a, b không âm và a ≠b  )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Zaidap.com