Đề II trang 106 SBT Toán Hình học 10: Chứng minh rằng...

Câu 1. (6 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

a) Chứng minh rằng: (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} over 2})

b) Chứng minh rằng: (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC}  = A{I^2} – {{B{C^2}} over 4}) với I là trung điểm của BC;

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2})

Gợi ý làm bài

a) Ta có: (overrightarrow {BC}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {AB} )

(eqalign{
& = > B{C^2} = {overrightarrow {BC} ^2} = {(overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} )^2} cr
& = A{C^2} + A{B^2} – 2overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} cr} )

( Leftrightarrow overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB}  = {{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}} over 2})

(=  > overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB}  = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} over 2})

b) Ta có: (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {AI}  + overrightarrow {IB} ) và (overrightarrow {AC}  = overrightarrow {AI}  + overrightarrow {IC}  = overrightarrow {AI}  – overrightarrow {IB} )

( =  > overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB}  = A{I^2} – I{B^2} = A{I^2} – {{B{C^2}} over 4}) (I là trung điểm của BC)

c) Ta có: 

(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2})

( Leftrightarrow (M{A^2} – G{A^2}) + (M{B^2} – G{B^2}) + (M{C^2} – G{C^2}) = 3M{G^2})

( Leftrightarrow (overrightarrow {MA}  – overrightarrow {GA)} (overrightarrow {MA}  + overrightarrow {GA} ) + (overrightarrow {MB}  – overrightarrow {GB} )(overrightarrow {MB}  + overrightarrow {GB} ) + (overrightarrow {MC}  – overrightarrow {GC} )(overrightarrow {MC}  + overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2})

( Leftrightarrow overrightarrow {MG} (overrightarrow {MA}  + overrightarrow {GA}  + overrightarrow {MB}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {MC}  + overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2})

(Leftrightarrow overrightarrow {MG} { m{[}}(overrightarrow {MA}  + overrightarrow {MB}  + overrightarrow {MC} ) + (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC} ){ m{]}} = 3M{G^2})

( Leftrightarrow overrightarrow {MG} (3overrightarrow {MG}  + overrightarrow 0 ) = 3M{G^2})

(Leftrightarrow 3{overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}) (đúng)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 2. ( 4 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

Gợi ý làm bài

*Gọi (C({x_C};{y_C})), ta có: (overrightarrow {BC}  = ({x_C} – 3;{y_C});overrightarrow {AB}  = (2;1))

Vì ABCD là hình vuông  

=> (left{ matrix{
AB ot BC hfill cr
AB = BC hfill cr} ight. = > left{ matrix{
2{x_C} – 6 + {y_C} = 0 hfill cr
{({x_C} – 3)^2} + y_C^2 = 5 hfill cr} ight.)

(eqalign{
& = > left{ matrix{
{y_C} = 6 – 2{x_C} hfill cr
{({x_C} – 3)^2} + 36 – 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 hfill cr} ight. cr
& = > left{ matrix{
{y_C} = 2 hfill cr
{x_C} = 2 hfill cr} ight. vee left{ matrix{
{y_C} = – 2 hfill cr
{x_C} = 4 hfill cr} ight. cr} )

*Gọi (D({x_D};{y_D}))

Với C(2;2)

=>  (overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} Leftrightarrow left{ matrix{
{x_D} – 2 = – 2 hfill cr
{y_D} – 2 = – 1 hfill cr} ight. = > left{ matrix{
{x_D} = 0 hfill cr
{y_D} = 1 hfill cr} ight.)

Với C(4;-2)

=> (overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} Leftrightarrow left{ matrix{
{x_D} – 4 = – 2 hfill cr
{y_D} + 2 = – 1 hfill cr} ight. = > left{ matrix{
{x_D} = 2 hfill cr
{y_D} = – 3 hfill cr} ight.)

Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).