Bài 2.58 trang 105 SBT Toán Hình học 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh...

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.

a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: (overrightarrow {GA} .overrightarrow {GC} )

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:

(O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} – 2OB.BE.cos widehat {OBE})

(eqalign{
& O{E^2} = {left( {{{3asqrt 2 } over 2}} ight)^2} + {a^2} – 2{{3asqrt 2 } over 2}.a.cos {45^0} = {{5{a^2}} over 2} cr
& = > OE = {{asqrt {10} } over 2} cr} )

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:

(eqalign{
& {R_{(Delta OBE)}} = {{OE} over {2sin widehat {OBE}}} = {{{{asqrt {10} } over 2}} over {2sin {{45}^0}}} cr
& = {{{{asqrt {10} } over 2}} over {2{{sqrt 2 } over 2}}} = {{asqrt 5 } over 2} cr} )

b) (overrightarrow {GA} .overrightarrow {GC}  = (overrightarrow {GO}  + overrightarrow {OA} )(overrightarrow {GO}  + overrightarrow {OC} ))

( = left( {overrightarrow {GO}  + overrightarrow {OA} } ight)left( {overrightarrow {GO}  – overrightarrow {OA} } ight) = {overrightarrow {GO} ^2} – {overrightarrow {OA} ^2})

( = {left( {{1 over 3}.{{3asqrt 2 } over 2}} ight)^2} – {left( {{{3asqrt 2 } over 2}} ight)^2} =  – 4{a^2})