Bài 2.57 trang 105 SBT Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với...

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( – 1;1)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

Gợi ý làm bài

A(2;4), B(3;1), C( – 1;1)

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

(left{ matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} over 3} = {4 over 3} hfill cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} over 3} = 2 hfill cr} ight.)

Vậy (Gleft( {{4 over 3};2} ight))

*Goi H(x; y), ta có:

(overrightarrow {AB}  = (1; – 3);overrightarrow {BC}  = ( – 4;0))

(overrightarrow {CH}  = (x + 1;y – 1);overrightarrow {AH}  = (x – 2;y – 4))

H là trực tâm tam giác ABC 

( Leftrightarrow left{ matrix{
AH ot BC hfill cr
CH ot AB hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 hfill cr
overrightarrow {CH} .overrightarrow {AB} = 0 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
– 4(x – 2) = 0 hfill cr
(x + 1) – 3(y – 1) = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = 2 hfill cr
y = 2 hfill cr} ight.)

*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Leftrightarrow IA = IB = IC)

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
{(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} hfill cr
{(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {(x + 1)^2} + {(y – 1)^2} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x = 1 hfill cr
y = 2 hfill cr} ight. cr} )

Vậy: I(1; 2)

b) Ta có: (overrightarrow {IA}  = (1;0),overrightarrow {IG}  = left( {{1 over 3};0} ight))

=>(overrightarrow {IH} ,overrightarrow {IG} ) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.