Đề 3 trang 225 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Đề 3

ĐỀ 3.

Câu 1 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4 điểm)

Cho hàm số: (y =  - {x^3} + 3x - 2)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).

3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( - {x^3} + 3x - 2 = {log _3}m)

Hướng dẫn làm bài

1) Vẽ biểu đồ

 

2) Ta có:  y’(1) = 0. Vậy phương trình của tiếp tuyến là y = 0

3) Dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng (y = {log _3}m) , ta có:

* Khi ({log _3}m <  - 4 Leftrightarrow m < {1 over {81}}), phương trình có một nghiệm

* Khi ({log _3}m =  - 4 Leftrightarrow m = {1 over {81}}), phương trình có hai nghiệm.

* Khi (0 > {log _3}m >  - 4 Leftrightarrow 1 > m > {1 over {81}}), phương trình có ba nghiệm.

* Khi ({log _3}m = 0 Leftrightarrow m = 1), phương trình có hai nghiệm.

* Khi ({log _3}m > 0 Leftrightarrow m > 1) , phương trình có một nghiệm.

Kết luận:

* Phương trình có một nghiệm khi m > 1 hoặc (m < {1 over {81}})

* Phương trình có hai nghiệm khi m = 1 hoặc  (m = {1 over {81}})

* Phương trình có ba nghiệm khi ({1 over {81}} < m < 1) .

Câu 2 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1)  (f(x) = ln ({x^2} + x - 2))    trên đoạn  [3; 6]

2)  (f(x) = {cos ^2}x + cos x + 3)

Hướng dẫn làm bài

1)  f(x) xác định trên R[-2; 1] nên xác định trên đoạn [3; 6]

 (f'(x) = {{2x + 1} over {{x^2} + x - 2}})

Ta thấy (f{ m{ }}left( x ight){ m{ }} > { m{ }}0{ m{ }},forall x in { m{[}}3;6]) nên trên đoạn [3; 6] hàm số f(x) đồng biến.

Vậy  (mathop {min }limits_{{ m{[}}3;6]} f(x) = f(3) = ln 10;mathop {max }limits_{{ m{[}}3;6]} f(x) = f(6) = ln 40)

2) Vì f(x) là hàm số tuần hoàn chu kì (2pi ), nên ta chỉ cần xét f(x) trên đoạn ({ m{[}}0;2pi { m{]}})

(f'(x) =  - 2sin xcos x - sin x;f'(0) = 0 Leftrightarrow x = { m{{ }}0;{{2pi } over 3};pi ;{{4pi } over 3};2pi { m{} }})

(f(0) = f(2pi ) = 5;f({{2pi } over 3}) = 2{3 over 4};f(pi ) = 3;f({{4pi } over 3}) = 2{3 over 4})

Vậy (mathop {min }limits_R f(x) = mathop {min }limits_{{ m{[}}0;2pi { m{]}}} f(x) = 2{3 over 4};mathop {max }limits_R f(x) = mathop {max }limits_{{ m{[}}0;2pi { m{]}}} f(x) = 5)

Câu 3 trang 226 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Tính các tích phân sau:

a) (intlimits_0^1 {(3{x^2} + 2x + 1){e^{2x}}dx})                b) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {cos 3x} .cos 4xdx)

2) Tìm modun của các số phức sau:

a) (z = ( - 4 + isqrt {48} )(2 + i))                                                     b) (z = {{1 + i} over {2 - i}})

Hướng dẫn làm bài

1)  a) Đáp số : ({7 over 4}{e^2} - {3 over 4})

b) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {cos 3xcos 4xdx}  = {1 over 2}intlimits_0^{{pi  over 2}} {(cos 7x + cos x)dx = {3 over 7}} )

2)  a) (z = ( - 4 + isqrt {48} )(2 + i)) nên

 (|z| = | - 4 + isqrt {48} |.|2 + i| = sqrt {{{( - 4)}^2} + {{(sqrt {48} )}^2}} .sqrt {{2^2} + {1^2}}  = 8sqrt 5 )

b) (z = {{1 + i} over {2 - i}})  nên  (|z| = {{|1 + i|} over {|2 - i|}} = {{sqrt 2 } over {sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = sqrt {{2 over 5}} ).

Sachbaitap.com