Đề 2 trang 225 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị. Xác định m để một trong những điểm cực trị đó thuộc trục Ox.

ĐỀ 2.

Câu 1 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4,5 điểm)

Cho hàm số  (y =  - {1 over 3}{x^3} + {x^2} + m - 1)

1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị. Xác định m để một trong những điểm cực trị đó thuộc trục Ox.

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi (m = {1 over 3})

3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (y = {1 over 3}x - 2)

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 2.

Hướng dẫn làm bài

1) (y' = - {x^2} + 2x;y' = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 0} cr {x = 2} cr} } ight.)

Ta có y’ > 0 với (x in (0;2)) và y’ < 0 khi x thuộc các khoảng (( - infty ;0),(2; + infty )). Vậy với mọi m, đồ thị của hàm số luôn có điểm cực tiểu (0; m – 1) và điểm cực đại ((2;m + {1 over 3})). Một trong các điểm cực trị nằm trên trục Ox khi và chỉ khi hoặc (m + {1 over 3} = 0 Leftrightarrow m =  - {1 over 3})  hoặc   (m – 1 = 0  Leftrightarrow  m = 1.)

2) Với (m = {1 over 3}) , ta có  (y =  - {1 over 3}{x^3} + {x^2} - {2 over 3})

 

3) Hệ số góc của tiếp tuyến là  -3. Hoành độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình 

( - { m{ }}{x^2} + { m{ }}2x{ m{ }} + { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0Rightarrow  left[ {matrix{{{x_1} = - 1} cr {{x_2} = 3} cr} } ight.)

Các tung độ của tiếp điểm tương ứng là ({y_1} = {2 over 3};{y_2} =  - {2 over 3})

Vậy ta có hai tiếp tuyến  (y =  - 3x - {7 over 3})  và  (y =  - 3x + {{25} over 3})

4) Vì I(1; 0) là tâm đối xứng của (C) nên hình phẳng đã cho gồm hai hình đối xứng với nhau qua điểm I (1; 0) . Vậy : (S = 2intlimits_0^1 {({1 over 3}{x^3} - {x^2} + {2 over 3})dx = {5 over 6}} ) (đơn vị thể tích)

Câu 2 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Giải phương trình ({3^{{x over 5}}} + {3^{{{x - 10} over {10}}}} = 84)

2) Giải bất phương trình ({log _{sqrt 2 }}(3 - 2x) > 1)

Hướng dẫn làm bài

1) Đặt ({3^{{x over {10}}}} = t(t > 0)) , ta có:

({t^2} + {t over 3} = 84 Leftrightarrow  3{t^2} + t - 252 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 9} cr {t = - 9{1 over 3}(l)} cr} } ight.)

Như vậy  ({3^{{x over {10}}}} = {3^2} Leftrightarrow  x = 20)

2) Điều kiện: (3 - 2x > 0 Leftrightarrow  x < {3 over 2})

Bất phương trình đã cho tương đương với  (3 - 2x > sqrt 2 )

(Leftrightarrow x < {{3 - sqrt 2 } over 2})  (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12  (2,5 điểm)

1) Tính tích phân   (intlimits_0^3 {{{sqrt {x + 1}  + 2} over {sqrt {x + 1}  + 3}}} dx)       (đặt (t = sqrt {x + 1} ))

2) Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện:

a) (|z + 1| = |z - i|)                      b) (|z{|^2} + 3z + 3overline z  = 0)

Hướng dẫn làm bài

1) Đặt (t = sqrt {x + 1} Rightarrow  {t^2} = x + 1) . Do đó, (dx = 2tdt)

Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 3 thì t = 2.

Vậy  (I = intlimits_1^2 {{{(t + 2).2tdt} over {t + 3}} = } intlimits_1^2 {(2t - 2 + {6 over {t + 3}})dt = 1 + 6ln {5 over 4}} )

2) a) Giả sử (z = x + yi). Ta có:  (|x + 1 + yi| = |x + (y - 1)i|)

( Leftrightarrow |(x + 1) + yi{|^2} = |x + (y - 1)i{|^2})

( Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {y^2} = {x^2} + {(y - 1)^2})

(Leftrightarrow {x^2} + 1 + 2x + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 1 - 2y)

(Leftrightarrow  2x = -2y ,,,,,, Leftrightarrow  y = -x)

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

 

Cách 2. Vế phải là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn ({z_0} = 0 + i), vế trái là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn ({z_1} =  - 1 + 0i) . Vậy phải tìm các điểm cách đều hai điểm biểu diễn z₀ và z₁

b) Ta có: (|x + yi{|^2} + 3(x + yi) + 3(x - yi) = 0)

(Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x = 0 Leftrightarrow  {(x + 3)^2} + {y^2} = 9)

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 3 và tâm là điểm (-3; 0)

 

Sachbaitap.com