Đề 1 trang 41 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến

Câu 1. (5 điểm ) 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình (3x - y - 3 = 0).Viết phương trình đường thẳng d₁ là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = left( { - 1;2} ight)) và phép quay tâm O góc quay -90°.

Câu 2. (5 điểm ) 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ({left( {x - 1} ight)^2} + {left( {y - 2} ight)^2} = 9). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = left( {2;0} ight)) phép vị tự tâm O tỉ số (k =  - 3).

Giải:

Câu 1.

Lấy điểm (M = left( {x;y} ight))

Giả sử ({M_1} = {T_{overrightarrow v }}left( M ight)) và (M' = {Q_{left( {O, - {{90}^0}} ight)}}left( {{M_1}} ight))

Ta có:

(left{ matrix{
{x_1} = - 1 + x hfill cr
{y_1} = 2 + y hfill cr} ight.) và 

(left{ matrix{
x' = {y_1} hfill cr
y' = - {x_1} hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
x = 1 - y` hfill cr
y = x' - 2 hfill cr} ight.)

Thế (left( {x;y} ight)) theo (left( {x';y'} ight)) vào phương trình , ta có:

(3left( {1 - y'} ight) - left( {x' - 2} ight) - 3 = 0). Như vậy phương trình d’ là :

(x' + 3y' - 2 = 0) hay (x + 3y - 2 = 0).

Câu 2. Cách 1.

Giả sử ({M_1} = {T_{overrightarrow v }}left( M ight)) và (M' = {V_{left( {O,k =  - 3} ight)}}left( {{M_1}} ight)). Ta có:

(left{ matrix{
{x_1} = x + 2 hfill cr
{y_1} = y + 0 hfill cr} ight.) và 

(left{ matrix{
x' = - 3{x_1} hfill cr
y' = - 3{y_1} hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
x' = - 3left( {x + 2} ight) hfill cr
y' = - 3y hfill cr} ight.)

Khi đó:

(left{ matrix{
x = {{x'} over { - 3}} - 2 hfill cr
y = {{y'} over { - 3}} hfill cr} ight.)

Thế x, y theo x’, y’vào phương trình đường tròn (C) đã cho, ta có:

({left[ {left( { - {{x'} over 3} - 2} ight) - 1} ight]^2} + {left[ {left( { - {{y'} over 3}} ight) - 2} ight]^2} = 9)

(eqalign{
& Leftrightarrow {left( { - {{x'} over 3} - 3} ight)^2} + {left( { - {{y'} over 3} - 2} ight)^2} = 9 cr
& Leftrightarrow {left( {x' + 9} ight)^2} + {left( {y' + 6} ight)^2} = 81 cr} )

Vậy ({left( {x + 9} ight)^2} + {left( {y + 6} ight)^2} = 81) là phương trình của đường tròn ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép dời hình đã cho.

Cách 2.

Đường tròn (C) có tâm (Ileft( {1;2} ight)), bán kính R = 3.

- Qua ({T_{overrightarrow v }}) : (C) biến thành đường tròn (C₁) tâm I₁, có tọa độ là :

(left{ matrix{
{x_1} = 1 + 2 = 3 hfill cr
{y_1} = 2 + 0 = 2 hfill cr} ight.) , bán kính R₁ = 3

- Qua phép vị tự ({V_{left( {O,k =  - 3} ight)}}), (C₁) biến thành đường tròn (C’) tâm I’, có tọa độ là :

(left{ matrix{
x' = - 3{{ m{x}}_1} = - 9 hfill cr
y' = - 3{y_1} = - 6 hfill cr} ight.) , bán kính (R' = left| k ight|{R_1} = 9)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: ({left( {x + 9} ight)^2} + {left( {x + 6} ight)^2} = 81).

Sachbaitap.com