Câu 84 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho

 AD = DE = EC.

a) Chứng minh: ({{DE} over {DB}} = {{DB} over {DC}})

b) Chứng minh ∆BDE  đồng dạng  ∆CDB

c) Tính tổng (widehat {AEB} + widehat {BCD}) bằng hai cách

Cách 1: sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Gợi ý làm bài

 

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2})

Suy ra: (BD = asqrt 2 )

Ta có: 

(eqalign{
& {{DE} over {DB}} = {a over {asqrt 2 }} = {{sqrt 2 } over 2}; cr 
& {{DB} over {DC}} = {{asqrt 2 } over {2a}} = {{sqrt 2 } over 2} cr} )

Vậy ({{DE} over {DB}} = {{DB} over {DC}})

b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:

({{DE} over {DB}} = {{DB} over {DC}},(1))

(widehat {BDE} = widehat {BDC},(2))

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB.

c) * Cách 1:

Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDE (Rightarrow widehat {BED} = widehat {CBD})

Mặt khác:

(widehat {AEB} + widehat {BCD} = widehat {BED} + widehat {BCD} = widehat {CBD} + widehat {BCD},(3))

Trong ∆BCD, ta có:

(widehat {ADB} = widehat {CBD} = widehat {BCD}) (tính chất góc ngoài) (4)

(widehat {ADB} = 45^circ ) (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: (widehat {AEB} + widehat {BCD} = 45^circ )

*  Cách 2:

Trong tam giác ABC, ta có: 

(tgwidehat {AEB} = {{AB} over {AC}} = {a over {2a}} = {1 over 2})

Suy ra: (widehat {AEB} = 26^circ 34')

Trong tam giác vuông ABC, ta có: 

(tgwidehat {ACB} = {{AB} over {AC}} = {a over {3a}} = {1 over 3})

Suy ra: (widehat {ACB} = 18^circ 26')

Vậy: (widehat {AEB} + widehat {ACB} = widehat {AEB} + widehat {BCD} = 45^circ )

Sachbaitap.com