Câu 7.1, 7.2, 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của m. ...
Tìm giá trị của m.
Câu 7.1 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các phương trình:
a) ({x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0)
b) (5 - sqrt {3 - 2x} = left| {2x - 3} ight|)
Giải
a)
(eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2}left( {{x^2} - 2x + 1}
ight) + 2xleft( {x - 1}
ight) - 3 = 0 cr
& Leftrightarrow {left[ {xleft( {x - 1}
ight)}
ight]^2} + 2.xleft( {x - 1}
ight) - 3 = 0 cr} )
Đặt (xleft( {x - 1} ight) = t)
Ta có phương trình: ({t^2} + 2t - 3 = 0) có dạng (a + b + c = 0)
(1 + 2 + left( { - 3} ight) = 0 Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} over 1} = - 3)
Với t1 = 1 ta có: (xleft( {x - 1} ight) = 1 Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0)
(eqalign{
& Delta = {left( { - 1}
ight)^2} - 4.1.left( { - 1}
ight) = 1 + 4 = 5 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 5 cr
& {x_1} = {{1 + sqrt 5 } over {2.1}} = {{1 + sqrt 5 } over 2} cr
& {x_2} = {{1 - sqrt 5 } over {2.1}} = {{1 - sqrt 5 } over 2} cr} )
Với t2 = -3 ta có: (xleft( {x - 1} ight) = - 3 Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0)
(Delta = {left( { - 1} ight)^2} - 4.1.3 = 1 - 12 = - 11 < 0)
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm: ({x_1} = {{1 + sqrt 5 } over 2};{x_2} = {{1 - sqrt 5 } over 2})
b) (5 - sqrt {3 - 2x} = left| {2x - 3} ight|) điều kiện (3 - 2x ge 0 Leftrightarrow x le {3 over 2})
( Rightarrow 5 - sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x) đặt (sqrt {3 - 2x} = t Rightarrow t ge 0)
Ta có phương trình: (5 - t = {t^2} Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0)
(eqalign{
& Delta = {1^2} - 4.1.left( { - 5}
ight) = 1 + 20 = 21 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {21} cr
& {t_1} = {{ - 1 + sqrt {21} } over {2.1}} = {{sqrt {21} - 1} over 2} cr
& {t_2} = {{ - 1 - sqrt {21} } over {2.1}} = - {{1 + sqrt {21} } over 2} cr} )
({t_2} = - {{1 + sqrt {21} } over 2} < 0) loại
(eqalign{
& Rightarrow sqrt {3 - 2x} = {{sqrt {21} - 1} over 2} cr
& Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2sqrt {21} + 1} over 4} cr
& Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2sqrt {21} cr
& Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2sqrt {21} cr
& Rightarrow x = {{2left( {sqrt {21} - 5}
ight)} over 8} = {{sqrt {21} - 5} over 4} cr} )
Phương trình có 1 nghiệm: (x = {{sqrt {21} - 5} over 4})
Câu 7.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Cho phương trình (x + 2sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giải
a) Khi m = 2 ta có phương trình: (x + 2sqrt {x - 1} - 3 = 0) điều kiện (x ge 1)
Đặt (sqrt {x - 1} = t Rightarrow t ge 0;x + 2sqrt {x - 1} - 3 = 0 Leftrightarrow x - 1 + 2sqrt {x - 1} - 2 = 0)
Ta có phương trình: ({t^2} + 2t - 2 = 0)
(eqalign{
& Delta ' = {1^2} - 1.left( { - 2}
ight) = 1 + 2 = 3 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt 3 cr
& {t_1} = {{ - 1 + sqrt 3 } over 1} = - 1 + sqrt 3 cr
& {t_2} = {{ - 1 - sqrt 3 } over 1} = - left( {1 + sqrt 3 }
ight) cr} )
({t_2} = - left( {1 + sqrt 3 } ight) < 0) loại
(eqalign{
& Rightarrow sqrt {x - 1} = sqrt 3 - 1 cr
& Rightarrow x - 1 = {left( {sqrt 3 - 1}
ight)^2} cr
& Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2sqrt 3 + 1 cr
& Leftrightarrow x = 5 - 2sqrt 3 cr} )
Vậy phương trình có 1 nghiệm (x = 5 - 2sqrt 3 )
b) (x + 2sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0) điều kiện (x ge 1)
( Leftrightarrow x - 1 + 2sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0)
Đặt (sqrt {x - 1} = t Rightarrow t ge 0)
Ta có phương trình: ({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0)
(a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} ight) = - left[ {{{left( {m - 3} ight)}^2} + 1} ight] < 0)
nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm.
Phân biệt t1 và t2 trái dấu nhau. Giả sử t1 > 0 ( Rightarrow x = {t_1}^2 + 1)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm
Câu 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của m để phương trình
(left[ {{x^2} - 2mx - 4left( {{m^2} + 1} ight)} ight]left[ {{x^2} - 4x - 2mleft( {{m^2} + 1} ight)} ight] = 0)
có đúng ba nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình:
(eqalign{
& left[ {{x^2} - 2mx - 4left( {{m^2} + 1}
ight)}
ight]left[ {{x^2} - 4x - 2mleft( {{m^2} + 1}
ight)}
ight] = 0 cr
& Leftrightarrow left[ {matrix{
{{x^2} - 2mx - 4left( {{m^2} + 1}
ight) = 0(1)} cr
{{x^2} - 4x - 2mleft( {{m^2} + 1}
ight) = 0(2)} cr} }
ight. cr} )
Ta xét phương trình (1): ({x^2} - 2mx - 4left( {{m^2} + 1} ight) = 0)
({Delta _1}' = {left( { - m} ight)^2} - 1.left[ { - 4left( {{m^2} + 1} ight)} ight] = {m^2} + 4left( {{m^2} + 1} ight) > 0) với mọi m
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2): ({x^2} - 4x - 2mleft( {{m^2} + 1} ight) = 0)
(eqalign{
& {Delta _2}' = {left( { - 2}
ight)^2} - 1.left[ { - 2mleft( {{m^2} + 1}
ight)}
ight] cr
& = 4 + 2mleft( {{m^2} + 1}
ight) cr
& = 2{m^3} + 2m + 4 cr} )
Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi ({Delta _2}' ge 0)
(eqalign{
& Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 ge 0 cr
& Leftrightarrow {m^3} + m + 2 ge 0 cr
& Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 ge 0 cr
& Leftrightarrow {m^2}left( {m + 1}
ight) - mleft( {m + 1}
ight) + 2left( {m + 1}
ight) ge 0 cr
& Leftrightarrow left( {m + 1}
ight)left( {{m^2} - m + 2}
ight) ge 0 cr} )
Vì ({m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 over 2}m + {1 over 4} + {7 over 4} = {left( {m - {1 over 2}} ight)^2} + {7 over 4} > 0)
( Rightarrow m + 1 ge 0 Leftrightarrow m ge - 1)
Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: ({Delta _2}' = 0) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: (4 - 4m - 4left( {{m^2} + 1} ight) e 0)
(eqalign{
& Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4
e 0 cr
& Leftrightarrow - 4mleft( {m + 1}
ight)
e 0 cr
& Leftrightarrow mleft( {m + 1}
ight)
e 0 cr} )
( Leftrightarrow left[ {matrix{
{m
e 0} cr
{m
e - 1} cr} }
ight.)
vô lý loại vì m = -1
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 trong đó có 1 nghiệm giả sử là x1 cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow {Delta _2}' > 0 Leftrightarrow m > - 1)
Và
(left{ {matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4left( {{m^2} + 1}
ight) = 0} cr
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2mleft( {{m^2} + 1}
ight) = 0} cr} }
ight.)
(eqalign{
& Rightarrow left( {4 - 2m}
ight){x_1} + 2mleft( {{m^2} + 1}
ight) - 4left( {{m^2} + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {4 - 2m}
ight){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {4 - 2m}
ight){x_1} + 2left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {4 - 2m}
ight){x_1} + 2left[ {{m^2}left( {m - 2}
ight) + left( {m - 2}
ight)}
ight] = 0 cr
& Leftrightarrow left( {4 - 2m}
ight){x_1} + 2left( {m - 2}
ight)left( {{m^2} + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow 2left( {2 - m}
ight){x_1} + 2left( {m - 2}
ight)left( {{m^2} + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 cr} )
Vì x1 cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay ({x_1} = {m^2} + 1) vào phương trình (1) ta có:
(eqalign{
& {left( {{m^2} + 1}
ight)^2} - 2mleft( {{m^2} + 1}
ight) - 4left( {{m^2} + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {{m^2} + 1}
ight)left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4}
ight] = 0 cr} )
(vì ({m^2} + 1 > 0) )
(eqalign{
& Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 cr
& Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 cr
& Leftrightarrow mleft( {m - 3}
ight) + left( {m - 3}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left( {m - 3}
ight)left( {m + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ {matrix{
{m = 3} cr
{m = - 1} cr} }
ight. cr} )
Vì m > -1 nên m = -1 loại
Vậy m = 3. Thay m = 3 vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1): ({x^2} - 6x - 40 = 0)
Phương trình (2): ({x^2} - 4x - 60 = 0)
Giải phương trình (1):
(eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 cr
& Delta ' = {left( { - 3}
ight)^2} - 1.left( { - 40}
ight) = 9 + 40 = 49 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {49} = 7 cr
& {x_1} = {{3 + 7} over 1} = 10 cr
& {x_2} = {{3 - 7} over 1} = - 4 cr} )
Giải phương trình (2):
(eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 cr
& Delta ' = {left( { - 2}
ight)^2} - 1.left( { - 60}
ight) = 4 + 60 = 64 > 0 cr
& sqrt {Delta '} = sqrt {64} = 8 cr
& {x_1} = {{2 + 8} over 1} = 10 cr
& {x_2} = {{2 - 8} over 1} = - 6 cr} )
Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi m = 3
Sachbaitap.com
