Câu 66 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán 7 tập 1: Chứng minh rằng ID = IE....

Cho tam giác ABC có (widehat A = 60^circ ). Các tia phân giác của các góc B, C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng ID = IE.

Hướng dẫn: Kẻ tia phân giác góc BIC

Giải

Trong ∆ABC, ta có:

(widehat A + widehat B + widehat C = 180^circ ) (tổng 3 góc trong tam giác)

( Rightarrow widehat B + widehat C = 180^circ  – widehat A)

                    ( = 180^circ  – 60^circ  = 120^circ )

(eqalign{
& widehat {{B_1}} = widehat {{B_2}} = {1 over 2}widehat Bleft( {gt} ight) cr
& widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}} = {1 over 2}widehat Cleft( {gt} ight) cr} )

Trong ∆BIC, ta có:

(widehat {BIC} = 180^circ  – left( {widehat {{B_1}} + widehat {{C_1}}} ight) = 180^circ  – left( {{{widehat B} over 2} + {{widehat C} over 2}} ight) = 180^circ  – 60^circ  = 120^circ )

Kẻ tia phân giác (widehat {BIC}) cắt cạnh BC tại K

Suy ra: (widehat {{I_2}} = widehat {{I_3}} = {1 over 2}widehat {BIC} = 60^circ )

Ta có: (widehat {{I_1}} + widehat {BIC} = 180^circ ) (hai góc kề bù)

( Rightarrow widehat {{I_1}} = 180^circ  – widehat {BIC} = 180^circ  – 120^circ  = 60^circ )

(widehat {{I_4}} = widehat {{I_1}} = 60^circ ) (vì hai góc đối  đỉnh)

Xét ∆BIE và ∆BIK, ta có:  

(widehat {{B_1}} = widehat {{B_2}}left( {gt} ight))

BI cạnh chung  

(widehat {{I_1}} = widehat {{I_2}} = 60^circ )

Suy ra: ∆BIE =  ∆BIK (g.c.g) => IE = IK (hai cạnh tương ứng)         (1)

Xét ∆CIK và ∆CID, ta có:

(widehat {{C_1}} = widehat {{C_2}}) (gt)

CI cạnh chung

(widehat {{I_3}} = widehat {{I_4}} = 60^circ )

Suy ra: ∆CIK = ∆CID(g.c.g) => IK = ID (hai cạnh tương ứng)             (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = ID.