Câu 65 trang 146 Sách bài tập Toán lớp 7 tập 1: Chứng minh rằng DM + EN = BC....

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E, vẽ các đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC.

Hướng dẫn: Qua N, kẻ đường thẳng song song với AB.

Giải

Từ N kẻ đường thẳng song song với AB  cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ∆BEK và ∆NKE, ta có:

(widehat {EKB} = widehat {KEN}) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

(widehat {BEK} = widehat {NKE}) (so le trong vì NK // AB)

Suy ra: ∆BEK = ∆NKE (g.c.g)

Suy ra:  BE = NK (hai cạnh tương ứng)

               EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ADM và ∆NKC, ta có:

(widehat A = widehat {KNC}) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK (vì cùng bằng BE) 

(widehat {A{ m{D}}M} = widehat {NKC}) (vì cùng bằng (widehat B))

Suy ra: ∆ADM = ∆NKC (c.g.c)

=>DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM